Страница 58 номер 5.47, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Каждая из точек \(M\), \(N\) и \(K\) лежит на своей грани куба, и никакие две из них не принадлежат одной грани. Поэтому ни одну сторону сечения нельзя провести сразу: сначала найдём прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость нижней грани \(ABC\).

В плоскости грани \(AA_1B_1B\) через точку \(M\) проведём прямую, параллельную ребру \(AA_1\); пусть она пересекает ребро \(AB\) в точке \(M_1\). В плоскости грани \(BB_1C_1C\) через точку \(N\) проведём прямую, параллельную ребру \(BB_1\); пусть она пересекает ребро \(BC\) в точке \(N_1\). В плоскости грани \(CC_1D_1D\) через точку \(K\) проведём прямую, параллельную ребру \(CC_1\); пусть она пересекает ребро \(DC\) в точке \(K_1\).

В квадратах \(ABB_1A_1\) и \(BCC_1B_1\) противоположные стороны параллельны, поэтому \(AA_1 \parallel BB_1\) и \(BB_1 \parallel CC_1\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому все три боковых ребра \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) параллельны, а вместе с ними параллельны между собой и прямые \(MM_1\), \(NN_1\) и \(KK_1\).

Через две параллельные прямые \(MM_1\) и \(NN_1\) проходит плоскость и притом только одна; в ней лежат прямые \(MN\) и \(M_1N_1\). Отрезки \(M_1M\) и \(N_1N\) не равны: как видно на рисунке, отрезок \(N_1N\) заметно длиннее отрезка \(M_1M\). Значит, \(M_1MNN_1\) — не параллелограмм, а трапеция, и прямые \(MN\) и \(M_1N_1\) пересекаются. Пусть \(X\) — точка их пересечения: она лежит на прямой \(M_1N_1\), поэтому принадлежит плоскости \(ABC\), и лежит на прямой \(MN\), поэтому принадлежит секущей плоскости.

Так же прямые \(MK\) и \(M_1K_1\) лежат в одной плоскости — той, что проходит через параллельные прямые \(MM_1\) и \(KK_1\). Отрезки \(M_1M\) и \(K_1K\) тоже не равны: как видно на рисунке, отрезок \(K_1K\) заметно длиннее отрезка \(M_1M\). Значит, \(M_1MKK_1\) — трапеция, и прямые \(MK\) и \(M_1K_1\) пересекаются в некоторой точке \(Y\), принадлежащей и плоскости \(ABC\), и секущей плоскости.

Точка \(N\) не принадлежит плоскости \(ABC\), поэтому плоскости \(MNK\) и \(ABC\) различны. Обе точки \(X\) и \(Y\) — общие для этих плоскостей, значит, по аксиоме А5 плоскости пересекаются по прямой, и обе эти точки на ней лежат. Через две точки проходит только одна прямая. Следовательно, плоскости \(MNK\) и \(ABC\) пересекаются по прямой \(XY\).

Как видно на рисунке, прямая \(XY\) не параллельна ни прямой \(AB\), ни прямой \(AD\), поэтому пересекает каждую из них: прямую \(AB\) — в точке \(V\), прямую \(AD\) — в точке \(U\) (обе точки лежат на продолжениях рёбер за вершину \(A\)). Точки \(M\) и \(V\) принадлежат плоскости грани \(AA_1B_1B\) и принадлежат секущей плоскости, поэтому секущая плоскость пересекает плоскость этой грани по прямой \(MV\); пусть она пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(E\), а ребро \(BB_1\) — в точке \(T\). Точки \(E\) и \(U\) принадлежат плоскости грани \(ADD_1A_1\), поэтому в ней секущая плоскость даёт прямую \(EU\); пусть она пересекает ребро \(DD_1\) в точке \(P\).

Точки \(P\) и \(K\) принадлежат плоскости грани \(CC_1D_1D\), поэтому прямая \(PK\) — линия пересечения этой грани с секущей плоскостью; пусть она пересекает ребро \(D_1C_1\) в точке \(Q\). Точки \(T\) и \(N\) принадлежат плоскости грани \(BB_1C_1C\), и прямая \(TN\) пересекает ребро \(B_1C_1\) в точке \(R\). Точки \(Q\) и \(R\) принадлежат плоскости верхней грани, поэтому отрезок \(QR\) — сторона сечения в этой грани. Пятиугольник \(EPQRT\) — искомое сечение.

Ответ: пятиугольник \(EPQRT\) — искомое сечение.