Страница 58 номер 5.46, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Точка \(M\) лежит на ребре \(AA_1\), то есть принадлежит граням \(ABB_1A_1\) и \(ADD_1A_1\), точка \(N\) — грани \(BB_1C_1C\), точка \(K\) — грани \(DD_1C_1C\). Ни одна из этих двух граней не совпадает ни с одной из первых двух, поэтому никакие две из точек \(M\), \(N\) и \(K\) не лежат в одной грани. Значит, ни одну сторону сечения нельзя провести сразу, и сначала надо найти прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость нижней грани \(ABC\).

В плоскости грани \(BB_1C_1C\) через точку \(N\) проведём прямую, параллельную ребру \(BB_1\); пусть она пересекает ребро \(BC\) в точке \(N_1\). В плоскости грани \(DD_1C_1C\) через точку \(K\) проведём прямую, параллельную ребру \(CC_1\); пусть она пересекает ребро \(DC\) в точке \(K_1\).

Четырёхугольник \(ABB_1A_1\) — квадрат, поэтому \(AA_1 \parallel BB_1\). Прямая \(NN_1\) тоже параллельна прямой \(BB_1\), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. Значит, \(AA_1 \parallel NN_1\). Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна; в этой плоскости лежат точки \(A\), \(M\), \(N\) и \(N_1\).

Отрезки \(AM\) и \(N_1N\) не равны: как видно на рисунке, отрезок \(N_1N\) заметно длиннее отрезка \(AM\). Поэтому четырёхугольник \(AMNN_1\) — не параллелограмм, а трапеция, и прямые \(MN\) и \(AN_1\), лежащие в одной плоскости, пересекаются. Пусть \(X\) — точка их пересечения. Точка \(X\) принадлежит прямой \(AN_1\), а эта прямая принадлежит плоскости \(ABC\); значит, \(X \in ABC\). Вместе с тем \(X\) принадлежит прямой \(MN\), а эта прямая принадлежит секущей плоскости.

Точно так же \(AA_1 \parallel KK_1\) и точки \(A\), \(M\), \(K\) и \(K_1\) лежат в одной плоскости. Отрезки \(AM\) и \(K_1K\) тоже не равны: как видно на рисунке, отрезок \(K_1K\) заметно длиннее отрезка \(AM\). Поэтому четырёхугольник \(AMKK_1\) — трапеция, и прямые \(MK\) и \(AK_1\) пересекаются в некоторой точке \(Y\), принадлежащей и плоскости \(ABC\), и секущей плоскости.

Точка \(N\) не принадлежит плоскости \(ABC\), поэтому плоскости \(MNK\) и \(ABC\) различны. Точка \(X\) принадлежит им обеим, значит, по аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой. Все их общие точки лежат на этой прямой, в частности точки \(X\) и \(Y\). Через две точки проходит только одна прямая, значит, плоскости \(MNK\) и \(ABC\) пересекаются по прямой \(XY\).

Как видно на рисунке, прямая \(XY\) не параллельна ни прямой \(AD\), ни прямой \(AB\), поэтому пересекает каждую из них: прямую \(AD\) — в точке \(U\), прямую \(AB\) — в точке \(V\) (обе точки лежат на продолжениях рёбер за вершину \(A\)). Точки \(M\) и \(U\) принадлежат плоскости грани \(ADD_1A_1\) (первая лежит на ребре \(AA_1\), вторая — на прямой \(AD\)) и принадлежат секущей плоскости. Следовательно, секущая плоскость пересекает плоскость этой грани по прямой \(MU\); пусть она пересекает ребро \(DD_1\) в точке \(P\). Аналогично точки \(M\) и \(V\) принадлежат плоскости грани \(ABB_1A_1\), и прямая \(MV\) пересекает ребро \(BB_1\) в точке \(T\).

Точки \(P\) и \(K\) принадлежат плоскости грани \(DD_1C_1C\) и секущей плоскости, поэтому прямая \(PK\) — линия пересечения этой грани с секущей плоскостью; пусть она пересекает ребро \(D_1C_1\) в точке \(Q\). Точки \(T\) и \(N\) принадлежат плоскости грани \(BB_1C_1C\), и прямая \(TN\) пересекает ребро \(B_1C_1\) в точке \(R\). Наконец, точки \(Q\) и \(R\) принадлежат плоскости верхней грани, поэтому в ней секущая плоскость даёт отрезок \(QR\). Пятиугольник \(MPQRT\) — искомое сечение.

Ответ: пятиугольник \(MPQRT\) — искомое сечение.