Страница 57 номер 5.45, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(M\), \(N\) и \(K\) принадлежат соответственно граням \(AA_1C_1C\), \(AA_1B_1B\) и \(BB_1C_1C\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\) (рис. 5.28). Постройте сечение призмы плоскостью \(MNK\).
Через точку \(M\) проведём в грани \(AA_1C_1C\) прямую, параллельную ребру \(AA_1\); она пересекает ребро \(AC\) в точке \(M_1\). Так же через точку \(N\) проведём в грани \(AA_1B_1B\) прямую, параллельную ребру \(AA_1\), и получим на ребре \(AB\) точку \(N_1\), а через точку \(K\) — в грани \(BB_1C_1C\) прямую, параллельную ребру \(BB_1\), и получим на ребре \(BC\) точку \(K_1\).
Боковые рёбра призмы параллельны, поэтому \(MM_1 \parallel AA_1\), \(NN_1 \parallel AA_1\) и \(KK_1 \parallel BB_1 \parallel AA_1\), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, значит, прямые \(MM_1\), \(NN_1\) и \(KK_1\) попарно параллельны.
Через две параллельные прямые \(MM_1\) и \(NN_1\) проходит плоскость, и в ней лежат прямые \(MN\) и \(M_1N_1\). Как видно на рисунке, отрезки \(MM_1\) и \(NN_1\) не равны, поэтому четырёхугольник \(MM_1N_1N\) — не параллелограмм, а трапеция, и прямые \(MN\) и \(M_1N_1\) пересекаются. При равенстве этих отрезков прямая \(MN\) была бы параллельна прямой \(M_1N_1\), а значит, и плоскости основания; точки пересечения не существовало бы, и след секущей плоскости пришлось бы строить по другой паре данных точек. Пусть \(X\) — точка пересечения прямых \(MN\) и \(M_1N_1\). Точка \(X\) принадлежит прямой \(M_1N_1\), лежащей в плоскости \(ABC\), и прямой \(MN\), лежащей в секущей плоскости, значит, \(X\) — общая точка этих двух плоскостей.
Так же прямые \(NK\) и \(N_1K_1\) лежат в одной плоскости, проходящей через параллельные прямые \(NN_1\) и \(KK_1\). Отрезки \(NN_1\) и \(KK_1\), как видно на рисунке, тоже не равны, поэтому четырёхугольник \(NN_1K_1K\) — трапеция, и прямые \(NK\) и \(N_1K_1\) пересекаются. Пусть \(Y\) — точка их пересечения; она тоже принадлежит и плоскости \(ABC\), и секущей плоскости.
Плоскость \(ABC\) и секущая плоскость различны и имеют две общие точки \(X\) и \(Y\), поэтому пересекаются по прямой \(XY\).
Прямые \(XY\), \(AC\) и \(BC\) лежат в плоскости основания. Как видно на рисунке, прямая \(XY\) пересекает прямую \(AC\) в точке \(E\), а прямую \(BC\) — в точке \(F\), причём обе точки лежат на продолжениях рёбер основания за вершину \(C\).
Точка \(E\) принадлежит прямой \(AC\), поэтому принадлежит плоскости грани \(AA_1C_1C\); точка \(M\) принадлежит этой же грани. Значит, секущая плоскость пересекает плоскость грани \(AA_1C_1C\) по прямой \(EM\). Эта прямая пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(P\), а ребро \(CC_1\) — в точке \(R\); отрезок \(PR\) — сторона искомого сечения.
Точка \(F\) принадлежит прямой \(BC\), поэтому принадлежит плоскости грани \(BB_1C_1C\); точка \(K\) принадлежит этой же грани. Значит, секущая плоскость пересекает плоскость грани \(BB_1C_1C\) по прямой \(FK\). Эта прямая пересекает ребро \(BB_1\) в точке \(Q\) и проходит через точку \(R\); отрезок \(RQ\) — сторона сечения.
Точки \(P\) и \(Q\) принадлежат грани \(AA_1B_1B\), поэтому \(PQ\) — сторона сечения, и эта сторона проходит через точку \(N\). Треугольник \(PQR\) — искомое сечение.
Ответ: сечение — треугольник \(PQR\), вершины которого лежат на боковых рёбрах \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\).
Точки \(M\), \(N\) и \(K\) принадлежат соответственно граням \(AA_1C_1C\), \(AA_1B_1B\) и \(BB_1C_1C\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\) (рис. 5.28). Постройте сечение призмы плоскостью \(MNK\).
Через точку \(M\) проведём в грани \(AA_1C_1C\) прямую, параллельную ребру \(AA_1\); она пересекает ребро \(AC\) в точке \(M_1\). Через точку \(N\) проведём в грани \(AA_1B_1B\) прямую, параллельную ребру \(AA_1\), и получим на ребре \(AB\) точку \(N_1\). Через точку \(K\) проведём в грани \(BB_1C_1C\) прямую, параллельную ребру \(BB_1\), и получим на ребре \(BC\) точку \(K_1\).
Боковые рёбра призмы параллельны, поэтому \(MM_1 \parallel AA_1\), \(NN_1 \parallel AA_1\) и \(KK_1 \parallel BB_1 \parallel AA_1\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, значит, прямые \(MM_1\), \(NN_1\) и \(KK_1\) попарно параллельны.
Через две параллельные прямые \(MM_1\) и \(NN_1\) проходит плоскость, и в ней лежат прямые \(MN\) и \(M_1N_1\). Как видно на рисунке, отрезки \(MM_1\) и \(NN_1\) не равны, поэтому четырёхугольник \(MM_1N_1N\) — не параллелограмм, а трапеция, и прямые \(MN\) и \(M_1N_1\) пересекаются. При равенстве этих отрезков прямая \(MN\) была бы параллельна прямой \(M_1N_1\), а значит, и плоскости основания; точки пересечения не существовало бы, и след секущей плоскости пришлось бы строить по другой паре данных точек. Пусть \(X\) — точка пересечения прямых \(MN\) и \(M_1N_1\). Точка \(X\) принадлежит прямой \(M_1N_1\), лежащей в плоскости \(ABC\), и прямой \(MN\), лежащей в секущей плоскости, значит, \(X\) — общая точка этих двух плоскостей.
Так же прямые \(NK\) и \(N_1K_1\) лежат в одной плоскости, проходящей через параллельные прямые \(NN_1\) и \(KK_1\). Отрезки \(NN_1\) и \(KK_1\), как видно на рисунке, тоже не равны, поэтому четырёхугольник \(NN_1K_1K\) — трапеция, и прямые \(NK\) и \(N_1K_1\) пересекаются. Пусть \(Y\) — точка их пересечения; она тоже принадлежит и плоскости \(ABC\), и секущей плоскости.
Плоскость \(ABC\) и секущая плоскость различны и имеют две общие точки \(X\) и \(Y\). Все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, а через две точки проходит только одна прямая, поэтому секущая плоскость пересекает плоскость \(ABC\) по прямой \(XY\).
Прямые \(XY\), \(AC\) и \(BC\) лежат в плоскости основания. Как видно на рисунке, прямая \(XY\) пересекает прямую \(AC\) в точке \(E\), а прямую \(BC\) — в точке \(F\), причём обе точки лежат на продолжениях рёбер основания за вершину \(C\).
Точка \(E\) принадлежит прямой \(AC\), поэтому принадлежит плоскости грани \(AA_1C_1C\); точка \(M\) принадлежит этой же грани. Значит, секущая плоскость пересекает плоскость грани \(AA_1C_1C\) по прямой \(EM\). Эта прямая пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(P\), а ребро \(CC_1\) — в точке \(R\); отрезок \(PR\) — сторона искомого сечения.
Точка \(F\) принадлежит прямой \(BC\), поэтому принадлежит плоскости грани \(BB_1C_1C\); точка \(K\) принадлежит этой же грани. Значит, секущая плоскость пересекает плоскость грани \(BB_1C_1C\) по прямой \(FK\). Эта прямая пересекает ребро \(BB_1\) в точке \(Q\) и проходит через точку \(R\); отрезок \(RQ\) — сторона сечения.
Точки \(P\) и \(Q\) принадлежат грани \(AA_1B_1B\), поэтому \(PQ\) — сторона сечения, и эта сторона проходит через точку \(N\). Треугольник \(PQR\) — искомое сечение.
Ответ: сечение — треугольник \(PQR\), вершины которого лежат на боковых рёбрах \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\).
