Страница 57 номер 5.44, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
\(P\) — середина ребра \(AB\)
\(\alpha\) — секущая плоскость, \(P \in \alpha\)
\(\alpha \parallel A_1C_1\), \(\alpha \parallel BD_1\)

Найти: отношение, в котором плоскость \(\alpha\) делит отрезок \(DB_1\), считая от точки \(D\).

Решение:

Четырёхугольник \(ACC_1A_1\) — параллелограмм, поэтому \(AC \parallel A_1C_1\). Точка \(P\) — середина ребра \(AB\), а прямые \(AB\) и \(AC\) имеют единственную общую точку \(A\), поэтому прямой \(AC\) точка \(P\) не принадлежит. Прямая \(AC\) не принадлежит и плоскости \(\alpha\): иначе плоскость \(\alpha\) проходила бы через прямую \(AC\) и не лежащую на ней точку \(P\), то есть совпадала бы с плоскостью основания, а прямая \(BD_1\) пересекает эту плоскость в точке \(B\) и потому ей не параллельна. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, а вторая прямая не принадлежит этой плоскости, то и вторая прямая параллельна данной плоскости. Значит, \(AC \parallel \alpha\).

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Плоскость основания проходит через прямую \(AC\), параллельную плоскости \(\alpha\), и имеет с плоскостью \(\alpha\) общую точку \(P\). Значит, плоскость \(\alpha\) пересекает плоскость основания по прямой, проходящей через точку \(P\) параллельно прямой \(AC\). В треугольнике \(ABC\) эта прямая проходит через середину стороны \(AB\) параллельно стороне \(AC\), поэтому пересекает сторону \(BC\) в её середине \(Q\). Отрезок \(PQ\) — сторона искомого сечения.

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей квадрата \(ABCD\), \(O_1\) — точка пересечения диагоналей квадрата \(A_1B_1C_1D_1\). Отрезок \(PQ\) — средняя линия треугольника \(ABC\), а \(BO\) — его медиана, проведённая к стороне \(AC\). Треугольник \(BPQ\) подобен треугольнику \(BAC\) с коэффициентом \(\dfrac{1}{2}\), поэтому медиана \(BO\) пересекает среднюю линию \(PQ\) в своей середине. Обозначим эту точку \(V\); тогда \(BV = \dfrac{1}{2}BO = \dfrac{1}{4}BD\), а значит, \(DV = \dfrac{3}{4}DB\).

Точки \(B\), \(D\), \(D_1\), \(B_1\) лежат в одной плоскости: \(BB_1 \parallel DD_1\) и \(BB_1 = DD_1\), поэтому \(BDD_1B_1\) — параллелограмм, и \(BD \parallel B_1D_1\). Точки \(O\) и \(O_1\) принадлежат плоскости \(BDD_1B_1\), так как \(O \in BD\) и \(O_1 \in B_1D_1\); точка \(V\) принадлежит ей по той же причине.

Прямая \(BD_1\) лежит в плоскости \(BDD_1B_1\) и параллельна плоскости \(\alpha\), а точка \(V\) принадлежит обеим плоскостям. Значит, плоскость \(\alpha\) пересекает плоскость \(BDD_1B_1\) по прямой, проходящей через точку \(V\) параллельно прямой \(BD_1\). Точка \(V\) лежит между точками \(D\) и \(B\), поэтому в треугольнике \(DBD_1\) эта прямая проходит через внутреннюю точку стороны \(DB\) параллельно стороне \(BD_1\) и, значит, пересекает сторону \(DD_1\); обозначим точку пересечения \(U\).

В треугольнике \(DBD_1\) прямая \(VU\) параллельна стороне \(BD_1\), поэтому \(\dfrac{DU}{DD_1} = \dfrac{DV}{DB} = \dfrac{3}{4}\).

Четырёхугольник \(ODD_1O_1\) — параллелограмм, так как отрезки \(OD\) и \(O_1D_1\) — половины параллельных и равных сторон \(BD\) и \(B_1D_1\); поэтому \(OO_1 \parallel DD_1\). Так как \(DO = \dfrac{1}{2}DB\), а \(DV = \dfrac{3}{4}DB\), точка \(O\) лежит между точками \(D\) и \(V\); значит, в треугольнике \(DVU\) отрезок \(OO_1\) проходит через внутреннюю точку стороны \(DV\) параллельно стороне \(DU\) и пересекает сторону \(VU\). Обозначим точку пересечения \(G\). Отрезок \(OG\) лежит на прямой \(OO_1\), а отрезок \(DU\) — на прямой \(DD_1\), значит, \(OG \parallel DU\). Треугольник \(VOG\) подобен треугольнику \(VDU\), причём \(\dfrac{VO}{VD} = \dfrac{\frac{1}{4}DB}{\frac{3}{4}DB} = \dfrac{1}{3}\). Значит, \(OG = \dfrac{1}{3}DU = \dfrac{1}{4}DD_1\).

Пусть \(E\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма \(BDD_1B_1\). Тогда \(E\) — середина отрезка \(DB_1\) и лежит на прямой \(BD_1\), поэтому в треугольнике \(DBE\) построенная прямая проходит через внутреннюю точку \(V\) стороны \(DB\) параллельно стороне \(BE\) и пересекает сторону \(DE\); обозначим точку пересечения \(Z\). Тогда \(\dfrac{DZ}{DE} = \dfrac{DV}{DB} = \dfrac{3}{4}\). Так как \(DE = \dfrac{1}{2}DB_1\), получаем \(DZ = \dfrac{3}{8}DB_1\), то есть \(DZ : ZB_1 = 3 : 5\).

Четырёхугольник \(ACC_1A_1\) — параллелограмм, точка \(O\) принадлежит прямой \(AC\), точка \(O_1\) — прямой \(A_1C_1\), поэтому обе они принадлежат плоскости \(ACC_1A_1\), а вместе с ними и точка \(G\) отрезка \(OO_1\). Плоскость \(ACC_1A_1\) проходит через прямую \(AC\), параллельную плоскости \(\alpha\), и имеет с плоскостью \(\alpha\) общую точку \(G\). Значит, плоскость \(\alpha\) пересекает плоскость \(ACC_1A_1\) по прямой, проходящей через точку \(G\) параллельно прямой \(AC\). Эта прямая пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(R\), а ребро \(CC_1\) — в точке \(S\).

В параллелограмме \(ACC_1A_1\) противоположные стороны \(AC\) и \(A_1C_1\) параллельны и равны, поэтому \(AO \parallel A_1O_1\) и \(AO = A_1O_1\) как их половины. Значит, \(AOO_1A_1\) — параллелограмм и \(OO_1 \parallel AA_1\). В четырёхугольнике \(AOGR\) сторона \(RG\) параллельна стороне \(AO\) (обе лежат на прямых, параллельных \(AC\)), а сторона \(AR\) параллельна стороне \(OG\) (обе лежат на прямых \(AA_1\) и \(OO_1\)). Следовательно, \(AOGR\) — параллелограмм и \(AR = OG = \dfrac{1}{4}AA_1\). Так же \(CS = OG = \dfrac{1}{4}CC_1\).

Точки \(P\) и \(R\) принадлежат грани \(ABB_1A_1\), точки \(Q\) и \(S\) — грани \(BCC_1B_1\), точки \(S\) и \(U\) — грани \(CDD_1C_1\), точки \(U\) и \(R\) — грани \(ADD_1A_1\). Пятиугольник \(PQSUR\) — искомое сечение.

Ответ: \(3 : 5\).