Страница 57 номер 5.43, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основанием пирамиды \(SABCD\) является параллелограмм \(ABCD\). Постройте сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра \(AB\) и параллельной прямым \(AC\) и \(SD\). В каком отношении секущая плоскость делит ребро \(SB\), считая от точки \(S\)?
Дано:
\(SABCD\) — пирамида, \(ABCD\) — параллелограмм
\(P\) — середина ребра \(AB\)
\(\alpha\) — секущая плоскость, \(P \in \alpha\)
\(\alpha \parallel AC\), \(\alpha \parallel SD\)
Найти: отношение, в котором плоскость \(\alpha\) делит ребро \(SB\), считая от точки \(S\).
Решение:
Прямая \(AC\) лежит в плоскости основания и параллельна плоскости \(\alpha\), а плоскость \(ABC\) имеет с плоскостью \(\alpha\) общую точку \(P\). Значит, плоскость \(\alpha\) пересекает плоскость основания по прямой, проходящей через точку \(P\) параллельно прямой \(AC\). В треугольнике \(ABC\) точка \(P\) — середина стороны \(AB\), поэтому проведённая прямая пересекает сторону \(BC\) в её середине \(Q\). Отрезок \(PQ\) — сторона искомого сечения.
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\); тогда \(O\) — середина отрезков \(AC\) и \(BD\). Отрезок \(BO\) — медиана треугольника \(ABC\), проведённая к стороне \(AC\), а \(PQ\) — его средняя линия. Треугольник \(BPQ\) подобен треугольнику \(BAC\) с коэффициентом \(\dfrac{1}{2}\), поэтому медиана \(BO\) пересекает среднюю линию \(PQ\) в своей середине \(R\); тогда \(BR = \dfrac{1}{2}BO = \dfrac{1}{4}BD\).
Прямая \(SD\) лежит в плоскости \(SBD\) и параллельна плоскости \(\alpha\), а точка \(R\) принадлежит прямой \(BD\), то есть плоскости \(SBD\), и принадлежит плоскости \(\alpha\). Значит, плоскость \(\alpha\) пересекает плоскость \(SBD\) по прямой, проходящей через точку \(R\) параллельно прямой \(SD\); в треугольнике \(SBD\) эта прямая пересекает сторону \(SB\) в точке \(T\).
Поскольку \(RT \parallel SD\), то \(\dfrac{BT}{TS} = \dfrac{BR}{RD}\). Из \(BR = \dfrac{1}{4}BD\) следует \(RD = \dfrac{3}{4}BD\), поэтому \(\dfrac{BT}{TS} = \dfrac{1}{3}\), то есть \(ST : TB = 3 : 1\).
Точки \(T\) и \(P\) принадлежат грани \(SAB\), точки \(T\) и \(Q\) — грани \(SBC\), поэтому \(TP\) и \(TQ\) — стороны сечения. Треугольник \(PQT\) — искомое сечение.
Ответ: \(3 : 1\).
Основанием пирамиды \(SABCD\) является параллелограмм \(ABCD\). Постройте сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра \(AB\) и параллельной прямым \(AC\) и \(SD\). В каком отношении секущая плоскость делит ребро \(SB\), считая от точки \(S\)?
Дано:
\(SABCD\) — пирамида, \(ABCD\) — параллелограмм
\(P\) — середина ребра \(AB\)
\(\alpha\) — секущая плоскость, \(P \in \alpha\)
\(\alpha \parallel AC\), \(\alpha \parallel SD\)
Найти: отношение, в котором плоскость \(\alpha\) делит ребро \(SB\), считая от точки \(S\).
Решение:
Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Прямая \(AC\) лежит в плоскости основания и параллельна плоскости \(\alpha\), а плоскость \(ABC\) имеет с плоскостью \(\alpha\) общую точку \(P\). Значит, плоскость \(\alpha\) пересекает плоскость основания по прямой, проходящей через точку \(P\) параллельно прямой \(AC\). В треугольнике \(ABC\) точка \(P\) — середина стороны \(AB\), поэтому проведённая прямая пересекает сторону \(BC\) в её середине \(Q\). Отрезок \(PQ\) — сторона искомого сечения.
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\). Тогда \(O\) — середина отрезка \(AC\) и середина отрезка \(BD\). Отрезок \(BO\) — медиана треугольника \(ABC\), проведённая к стороне \(AC\), а \(PQ\) — средняя линия этого треугольника, параллельная стороне \(AC\). Треугольник \(BPQ\) подобен треугольнику \(BAC\) с коэффициентом \(\dfrac{1}{2}\), поэтому медиана \(BO\) пересекает среднюю линию \(PQ\) в своей середине. Обозначим эту точку \(R\); тогда \(BR = \dfrac{1}{2}BO = \dfrac{1}{4}BD\).
Прямая \(SD\) лежит в плоскости \(SBD\) и параллельна плоскости \(\alpha\), а точка \(R\) принадлежит прямой \(BD\), то есть плоскости \(SBD\), и принадлежит плоскости \(\alpha\). Значит, плоскость \(\alpha\) пересекает плоскость \(SBD\) по прямой, проходящей через точку \(R\) параллельно прямой \(SD\). В треугольнике \(SBD\) эта прямая пересекает сторону \(SB\) в точке \(T\).
Поскольку \(RT \parallel SD\), то \(\dfrac{BT}{TS} = \dfrac{BR}{RD}\). Из \(BR = \dfrac{1}{4}BD\) следует \(RD = \dfrac{3}{4}BD\), поэтому \(\dfrac{BT}{TS} = \dfrac{1}{3}\), то есть \(ST : TB = 3 : 1\).
Точки \(T\) и \(P\) принадлежат грани \(SAB\), точки \(T\) и \(Q\) — грани \(SBC\), поэтому \(TP\) и \(TQ\) — стороны сечения. Треугольник \(PQT\) — искомое сечение.
Ответ: \(3 : 1\).
