Страница 57 номер 5.42, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дана пирамида \(MABCD\) (рис. 5.27). На ребре \(BC\) отметили точку \(N\), на ребре \(MD\) — точку \(K\). Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки \(N\) и \(K\) параллельно прямой \(CD\).
Прямая \(CD\) лежит в плоскости основания. Плоскость \(ABC\) проходит через прямую \(CD\), параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость, так как имеет с ней общую точку \(N\). Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(ABC\) по прямой, проходящей через точку \(N\) параллельно прямой \(CD\). Как видно на рисунке, эта прямая пересекает сторону \(AD\) четырёхугольника \(ABCD\); обозначим точку пересечения \(L\). Отрезок \(NL\) — сторона искомого сечения.
Прямая \(CD\) лежит также в плоскости \(MCD\), которой принадлежит и точка \(K\) ребра \(MD\). Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(MCD\) по прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(CD\). В треугольнике \(MCD\) эта прямая пересекает сторону \(MC\) в точке \(G\), и отрезок \(KG\) — сторона сечения.
Точки \(L\) и \(K\) принадлежат грани \(MAD\), поэтому \(LK\) — сторона сечения; точки \(G\) и \(N\) принадлежат грани \(MBC\), поэтому \(GN\) — сторона сечения. Четырёхугольник \(NLKG\) — искомое сечение.
Стороны \(NL\) и \(KG\) параллельны прямой \(CD\), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому \(NL \parallel KG\).
Ответ: сечение — четырёхугольник \(NLKG\), у которого вершина \(L\) лежит на ребре \(AD\), вершина \(G\) — на ребре \(MC\), а стороны \(NL\) и \(KG\) параллельны прямой \(CD\).
Дана пирамида \(MABCD\) (рис. 5.27). На ребре \(BC\) отметили точку \(N\), на ребре \(MD\) — точку \(K\). Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки \(N\) и \(K\) параллельно прямой \(CD\).
Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Прямая \(CD\) лежит в плоскости основания. Плоскость \(ABC\) проходит через прямую \(CD\), параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость, так как имеет с ней общую точку \(N\). Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(ABC\) по прямой, проходящей через точку \(N\) параллельно прямой \(CD\). Как видно на рисунке, эта прямая пересекает сторону \(AD\) четырёхугольника \(ABCD\); обозначим точку пересечения \(L\). Отрезок \(NL\) — сторона искомого сечения.
Прямая \(CD\) лежит также в плоскости \(MCD\), а точка \(K\) принадлежит ребру \(MD\), то есть этой же плоскости. Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(MCD\) по прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(CD\). В треугольнике \(MCD\) эта прямая пересекает сторону \(MC\) в точке \(G\), и отрезок \(KG\) — сторона сечения.
Точки \(L\) и \(K\) принадлежат грани \(MAD\), поэтому \(LK\) — сторона сечения; точки \(G\) и \(N\) принадлежат грани \(MBC\), поэтому \(GN\) — сторона сечения. Четырёхугольник \(NLKG\) — искомое сечение.
Стороны \(NL\) и \(KG\) этого четырёхугольника параллельны прямой \(CD\), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому \(NL \parallel KG\).
Ответ: сечение — четырёхугольник \(NLKG\), у которого вершина \(L\) лежит на ребре \(AD\), вершина \(G\) — на ребре \(MC\), а стороны \(NL\) и \(KG\) параллельны прямой \(CD\).
