Страница 57 номер 5.41, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дана пирамида \(MABCD\) (рис. 5.27). На ребре \(BC\) отметили точку \(N\), на ребре \(MD\) — точку \(K\). Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки \(N\) и \(K\) параллельно прямой \(MC\).
Плоскость \(MBC\) проходит через прямую \(MC\), параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость, так как имеет с ней общую точку \(N\). Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(MBC\) по прямой, проходящей через точку \(N\) параллельно прямой \(MC\). В треугольнике \(MBC\) эта прямая пересекает сторону \(MB\) в точке \(P\), и отрезок \(NP\) — сторона искомого сечения.
Плоскость \(MCD\) также проходит через прямую \(MC\) и имеет с секущей плоскостью общую точку \(K\). Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(MCD\) по прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(MC\). В треугольнике \(MCD\) эта прямая пересекает сторону \(CD\) в точке \(Q\), и отрезок \(KQ\) — сторона сечения.
Точки \(N\) и \(Q\) принадлежат и секущей плоскости, и плоскости основания, поэтому секущая плоскость пересекает плоскость \(ABC\) по прямой \(NQ\), а отрезок \(NQ\) — сторона сечения.
Как видно на рисунке, четырёхугольник \(ABCD\) выпуклый, поэтому его диагональ \(AC\) лежит внутри него. Точки \(N\) и \(Q\) лежат на сторонах \(BC\) и \(CD\), поэтому отрезок \(NQ\) отсекает от четырёхугольника треугольник \(NCQ\), которому точка \(A\) не принадлежит. Значит, отрезок \(AC\) пересекает отрезок \(NQ\); пусть \(E\) — точка их пересечения.
Точка \(E\) принадлежит прямой \(AC\), поэтому принадлежит плоскости \(MAC\). Эта плоскость проходит через прямую \(MC\) и имеет с секущей плоскостью общую точку \(E\), поэтому секущая плоскость пересекает её по прямой, проходящей через точку \(E\) параллельно прямой \(MC\). В треугольнике \(MAC\) эта прямая пересекает сторону \(MA\) в точке \(T\).
Точки \(T\) и \(K\) принадлежат грани \(MAD\), поэтому \(TK\) — сторона сечения; точки \(T\) и \(P\) принадлежат грани \(MAB\), поэтому \(TP\) — сторона сечения. Пятиугольник \(NQKTP\) — искомое сечение.
Ответ: сечение — пятиугольник \(NQKTP\), у которого вершина \(P\) лежит на ребре \(MB\), вершина \(Q\) — на ребре \(CD\), вершина \(T\) — на ребре \(MA\).
Дана пирамида \(MABCD\) (рис. 5.27). На ребре \(BC\) отметили точку \(N\), на ребре \(MD\) — точку \(K\). Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки \(N\) и \(K\) параллельно прямой \(MC\).
Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Плоскость \(MBC\) проходит через прямую \(MC\), параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость, так как имеет с ней общую точку \(N\). Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(MBC\) по прямой, проходящей через точку \(N\) параллельно прямой \(MC\). Проведём в треугольнике \(MBC\) через точку \(N\) прямую, параллельную стороне \(MC\); она пересекает сторону \(MB\) в точке \(P\). Отрезок \(NP\) — сторона искомого сечения.
Плоскость \(MCD\) также проходит через прямую \(MC\) и имеет с секущей плоскостью общую точку \(K\). Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(MCD\) по прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(MC\). В треугольнике \(MCD\) эта прямая пересекает сторону \(CD\) в точке \(Q\), и отрезок \(KQ\) — сторона сечения.
Точки \(N\) и \(Q\) принадлежат и секущей плоскости, и плоскости основания, поэтому секущая плоскость пересекает плоскость \(ABC\) по прямой \(NQ\), а отрезок \(NQ\) — сторона сечения.
Как видно на рисунке, четырёхугольник \(ABCD\) выпуклый, поэтому его диагональ \(AC\) лежит внутри него. Точки \(N\) и \(Q\) лежат на сторонах \(BC\) и \(CD\), поэтому отрезок \(NQ\) отсекает от четырёхугольника треугольник \(NCQ\): точка \(C\) служит его вершиной, а точка \(A\) ему не принадлежит. Значит, отрезок \(AC\) пересекает отрезок \(NQ\); пусть \(E\) — точка их пересечения.
Точка \(E\) принадлежит прямой \(AC\), поэтому принадлежит плоскости \(MAC\). Плоскость \(MAC\) проходит через прямую \(MC\), параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку \(E\). Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(MAC\) по прямой, проходящей через точку \(E\) параллельно прямой \(MC\). В треугольнике \(MAC\) эта прямая пересекает сторону \(MA\) в точке \(T\).
Точки \(T\) и \(K\) принадлежат грани \(MAD\), поэтому \(TK\) — сторона сечения; точки \(T\) и \(P\) принадлежат грани \(MAB\), поэтому \(TP\) — сторона сечения. Пятиугольник \(NQKTP\) — искомое сечение.
Ответ: сечение — пятиугольник \(NQKTP\), у которого вершина \(P\) лежит на ребре \(MB\), вершина \(Q\) — на ребре \(CD\), вершина \(T\) — на ребре \(MA\).
