Страница 57 номер 5.40, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Точка \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) квадрата \(ABCD\), точка \(O_1\) — точка пересечения диагоналей \(A_1C_1\) и \(B_1D_1\) квадрата \(A_1B_1C_1D_1\).

Секущая плоскость и плоскость \(ABC\) имеют две общие точки \(E\) и \(F\). Все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, а через две точки проходит только одна прямая, поэтому секущая плоскость пересекает плоскость \(ABC\) по прямой \(EF\). Значит, отрезок \(EF\) — сторона искомого сечения.

Отрезок \(EF\) соединяет середины сторон \(AD\) и \(CD\) треугольника \(ACD\), то есть является его средней линией, поэтому \(EF \parallel AC\).

Точка \(O\) принадлежит диагонали \(AC\), точка \(O_1\) — диагонали \(A_1C_1\), поэтому обе они принадлежат плоскости \(ACC_1A_1\), а вместе с ними и середина \(M\) отрезка \(OO_1\).

Прямая \(AC\) лежит в плоскости \(ACC_1A_1\). Плоскость \(ACC_1A_1\) пересекает плоскость основания по прямой \(AC\), а точка \(E\) прямой \(AC\) не принадлежит, поэтому прямая \(EF\) в плоскости \(ACC_1A_1\) не лежит. По признаку параллельности прямой и плоскости \(EF \parallel ACC_1A_1\).

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Секущая плоскость проходит через прямую \(EF\), параллельную плоскости \(ACC_1A_1\), и имеет с этой плоскостью общую точку \(M\), то есть пересекает её. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку \(M\) параллельно прямой \(EF\), а значит, и параллельно прямой \(AC\).

Четырёхугольник \(ACC_1A_1\) — параллелограмм, поэтому \(AC \parallel A_1C_1\) и \(AC = A_1C_1\). Отсюда \(AO \parallel A_1O_1\) и \(AO = A_1O_1\) как половины этих отрезков, значит, четырёхугольник \(AOO_1A_1\) — параллелограмм. Проведённая через точку \(M\) прямая параллельна стороне \(AO\) и делит сторону \(OO_1\) пополам, поэтому по теореме Фалеса она делит пополам и сторону \(AA_1\). Пусть \(R\) — середина ребра \(AA_1\). Так же четырёхугольник \(COO_1C_1\) — параллелограмм, и та же прямая пересекает ребро \(CC_1\) в его середине \(S\).

Точки \(E\) и \(R\) принадлежат грани \(ADD_1A_1\), поэтому \(ER\) — сторона сечения. Точки \(F\) и \(S\) принадлежат грани \(CDD_1C_1\), поэтому \(FS\) — сторона сечения.

В треугольнике \(ACD\) отрезок \(DO\) — медиана, проведённая к стороне \(AC\), а \(EF\) — средняя линия, параллельная \(AC\). Треугольник \(DEF\) подобен треугольнику \(DAC\) с коэффициентом \(\dfrac{1}{2}\), поэтому медиана \(DO\) пересекает среднюю линию \(EF\) в своей середине. Пусть \(T\) — середина отрезка \(OD\); точка \(T\) принадлежит и прямой \(EF\), и диагонали \(BD\).

Точка \(O\) принадлежит прямой \(BD\), точка \(O_1\) — прямой \(B_1D_1\), поэтому плоскости \(BDD_1B_1\) принадлежат точки \(O\), \(O_1\), а значит, и точка \(M\); точка \(T\) также принадлежит этой плоскости. Следовательно, секущая плоскость пересекает плоскость \(BDD_1B_1\) по прямой \(TM\).

Отрезок \(MT\) соединяет середины сторон \(OO_1\) и \(OD\) треугольника \(OO_1D\), то есть является его средней линией, поэтому \(MT \parallel O_1D\). Прямые \(O_1D\) и \(B_1D_1\) проходят через общую точку \(O_1\) и не совпадают, так как точка \(D\) прямой \(B_1D_1\) не принадлежит, поэтому они не параллельны. Если бы прямая \(TM\) была параллельна прямой \(B_1D_1\), то прямые \(O_1D\) и \(B_1D_1\) оказались бы параллельны как две прямые, параллельные прямой \(TM\). Значит, прямая \(TM\) прямой \(B_1D_1\) не параллельна, а так как обе они лежат в плоскости \(BDD_1B_1\), то они пересекаются. Пусть \(W\) — их точка пересечения.

Четырёхугольник \(BDD_1B_1\) — параллелограмм, поэтому \(BD \parallel B_1D_1\). Треугольники \(MOT\) и \(MO_1W\) равны: \(MO = MO_1\), углы при вершине \(M\) вертикальные, а углы \(MOT\) и \(MO_1W\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(BD\) и \(B_1D_1\) и секущей \(OO_1\). Значит, \(O_1W = OT = \dfrac{1}{2}OD = \dfrac{1}{2}O_1B_1\), то есть точка \(W\) — середина отрезка \(O_1B_1\).

Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому из \(EF \parallel AC\) и \(AC \parallel A_1C_1\) следует \(EF \parallel A_1C_1\). Прямая \(A_1C_1\) лежит в плоскости \(A_1B_1C_1\), а прямая \(EF\) в ней не лежит: плоскости \(A_1B_1C_1\) и \(ADD_1A_1\) пересекаются по прямой \(A_1D_1\), а точка \(E\) лежит на прямой \(AD\), у которой с прямой \(A_1D_1\) общих точек нет. Значит, \(EF \parallel A_1B_1C_1\). Секущая плоскость проходит через прямую \(EF\) и имеет с плоскостью \(A_1B_1C_1\) общую точку \(W\), поэтому пересекает её по прямой, проходящей через точку \(W\) параллельно прямой \(EF\), то есть параллельно прямой \(A_1C_1\).

В треугольнике \(A_1B_1O_1\) точка \(W\) — середина стороны \(B_1O_1\), а проведённая прямая параллельна стороне \(O_1A_1\), поэтому она пересекает сторону \(A_1B_1\) в её середине. Обозначим эту точку \(P\). Так же в треугольнике \(C_1B_1O_1\) эта прямая пересекает сторону \(B_1C_1\) в её середине \(Q\). Точки \(P\) и \(Q\) принадлежат грани \(A_1B_1C_1D_1\), поэтому \(PQ\) — сторона сечения.

Точки \(P\) и \(R\) принадлежат грани \(ABB_1A_1\), поэтому \(PR\) — сторона сечения; точки \(Q\) и \(S\) принадлежат грани \(BCC_1B_1\), поэтому \(QS\) — сторона сечения. Шестиугольник \(EFSQPR\) — искомое сечение.

Ответ: сечение — шестиугольник \(EFSQPR\), вершинами которого служат середины рёбер \(AD\), \(CD\), \(CC_1\), \(B_1C_1\), \(A_1B_1\) и \(AA_1\).