Страница 57 номер 5.39, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Обозначим ребро куба через \(a\) и отметим точку \(L\) — середину ребра \(AB\).

Отрезки \(AL\) и \(A_1F\) равны, так как каждый из них равен \(\dfrac{a}{2}\), и лежат на параллельных прямых \(AB\) и \(A_1B_1\), а точки \(L\) и \(F\) лежат по одну сторону от прямой \(AA_1\). Поэтому четырёхугольник \(ALFA_1\) — параллелограмм, откуда \(LF \parallel AA_1\) и \(LF = AA_1 = a\).

Прямые \(LF\) и \(CC_1\) параллельны: каждая из них параллельна прямой \(AA_1\), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна; пусть \(\beta\) — плоскость, проходящая через прямые \(LF\) и \(CC_1\). Точки \(L\), \(F\), \(C\) и \(K\) принадлежат плоскости \(\beta\).

Четырёхугольник \(FLCK\) — трапеция с основаниями \(FL = a\) и \(KC = \dfrac{a}{2}\). Прямые \(FK\) и \(LC\), содержащие её боковые стороны, пересекаются в некоторой точке \(X\), лежащей на продолжении отрезка \(LC\) за точку \(C\). Треугольники \(XKC\) и \(XFL\) подобны: угол при вершине \(X\) у них общий, а \(\angle XKC = \angle XFL\) как соответственные углы при параллельных прямых \(KC\) и \(FL\) и секущей \(FK\). Коэффициент подобия равен \(\dfrac{KC}{FL} = \dfrac{1}{2}\), поэтому \(XC = \dfrac{1}{2}XL\), то есть точка \(C\) — середина отрезка \(LX\).

Точка \(X\) лежит на прямой \(FK\), а значит, принадлежит секущей плоскости; она лежит и на прямой \(LC\), а значит, принадлежит плоскости основания. Точка \(E\) принадлежит обеим этим плоскостям. По аксиоме А5 секущая плоскость и плоскость основания пересекаются по прямой, а по аксиоме А4 прямая \(EX\) принадлежит каждой из них, поэтому прямая \(EX\) — линия их пересечения.

Пусть \(Q\) — середина ребра \(CD\), а \(U\) — такая точка продолжения ребра \(BA\) за точку \(A\), что \(AU = \dfrac{a}{2}\). Прямоугольные треугольники \(UAE\) и \(QDE\) равны по двум катетам: \(AU = DQ = \dfrac{a}{2}\) и \(AE = DE = \dfrac{a}{2}\). Значит, \(\angle AEU = \angle DEQ\), а так как точки \(U\) и \(Q\) лежат по разные стороны от прямой \(AD\), эти углы вертикальные, и точки \(U\), \(E\), \(Q\) лежат на одной прямой.

Отрезок \(EQ\) — средняя линия треугольника \(ACD\), поэтому \(EQ \parallel AC\). Прямые \(UQ\) и \(LC\) лежат в плоскости основания. Прямая \(UQ\) не параллельна прямой \(LC\) (иначе прямая \(LC\) была бы параллельна прямой \(AC\), а они имеют общую точку \(C\)), значит, эти прямые пересекаются в некоторой точке \(Y\). Треугольники \(LUY\) и \(LAC\) подобны, так как угол при вершине \(L\) у них общий, а \(UY \parallel AC\). Поэтому \[\frac{LY}{LC} = \frac{LU}{LA} = \frac{a}{a/2} = 2.\] Точка \(Y\) лежит на луче \(LC\), и \(LY = 2LC\); тем же свойством обладает точка \(X\), поэтому \(Y\) и \(X\) совпадают. Значит, прямая \(EX\) — это прямая \(UQ\), а отрезок \(EQ\) — сторона сечения в грани \(ABCD\).

Четырёхугольник \(ACC_1A_1\) — параллелограмм, поэтому \(AC \parallel A_1C_1\), а вместе с \(EQ \parallel AC\) это даёт \(EQ \parallel A_1C_1\). Прямая \(EQ\) не принадлежит плоскости \(A_1B_1C_1\), потому что точка \(E\) этой плоскости не принадлежит. По признаку параллельности прямой и плоскости \(EQ \parallel A_1B_1C_1\).

Секущая плоскость проходит через прямую \(EQ\), параллельную плоскости \(A_1B_1C_1\), и пересекает эту плоскость, так как точка \(F\) принадлежит им обеим. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(A_1B_1C_1\) по прямой, проходящей через точку \(F\) параллельно прямой \(EQ\), а потому и параллельно прямой \(A_1C_1\). В треугольнике \(A_1B_1C_1\) эта прямая проходит через середину \(F\) стороны \(A_1B_1\) параллельно стороне \(A_1C_1\), поэтому пересекает сторону \(B_1C_1\) в её середине; обозначим эту точку \(R\).

Точки \(U\) и \(F\) принадлежат и секущей плоскости, и плоскости \(ABB_1\). По аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, а по аксиоме А4 прямая \(UF\) принадлежит каждой из них, поэтому прямая \(UF\) — линия их пересечения. Отрезки \(AU\) и \(A_1F\) равны, лежат на параллельных прямых \(AB\) и \(A_1B_1\), а точки \(U\) и \(F\) лежат по разные стороны от прямой \(AA_1\), поэтому четырёхугольник \(UAFA_1\) — параллелограмм. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, значит, прямая \(UF\) пересекает ребро \(AA_1\) в его середине; обозначим эту точку \(P\).

Точки \(E\) и \(P\) лежат в грани \(ADD_1A_1\), точки \(P\) и \(F\) — в грани \(ABB_1A_1\), точки \(F\) и \(R\) — в грани \(A_1B_1C_1D_1\), точки \(R\) и \(K\) — в грани \(BCC_1B_1\), точки \(K\) и \(Q\) — в грани \(CDD_1C_1\), точки \(Q\) и \(E\) — в грани \(ABCD\). Значит, шестиугольник \(EPFRKQ\) — искомое сечение.

Ответ: сечение — шестиугольник \(EPFRKQ\), вершины которого — середины рёбер \(AD\), \(AA_1\), \(A_1B_1\), \(B_1C_1\), \(CC_1\) и \(CD\).