Страница 53 номер 5.3, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 5.14), точки \(E\) и \(F\) — середины рёбер \(CC_1\) и \(DD_1\) соответственно. Запишите грани параллелепипеда, которым параллельна прямая: 1) \(AB\); 2) \(CC_1\); 3) \(AC\); 4) \(EF\).
1) Отрезки \(AB\) и \(DC\) — противоположные стороны прямоугольника \(ABCD\), а отрезки \(AB\) и \(A_1B_1\) — противоположные стороны прямоугольника \(ABB_1A_1\), поэтому \(AB \parallel DC\) и \(AB \parallel A_1B_1\). Прямая \(DC\) лежит в плоскости грани \(CDD_1C_1\), прямая \(A_1B_1\) — в плоскости грани \(A_1B_1C_1D_1\), а прямая \(AB\) ни одной из этих плоскостей не принадлежит: им не принадлежит точка \(A\). По признаку параллельности прямой и плоскости \(AB \parallel CDD_1C_1\) и \(AB \parallel A_1B_1C_1D_1\).
Граням \(ABCD\) и \(ABB_1A_1\) прямая \(AB\) принадлежит, а с гранями \(ADD_1A_1\) и \(BCC_1B_1\) имеет общие точки \(A\) и \(B\).
2) Отрезки \(CC_1\) и \(BB_1\) — противоположные стороны прямоугольника \(BCC_1B_1\), а отрезки \(CC_1\) и \(DD_1\) — противоположные стороны прямоугольника \(CDD_1C_1\), поэтому \(CC_1 \parallel BB_1\) и \(CC_1 \parallel DD_1\). Прямая \(BB_1\) лежит в плоскости грани \(ABB_1A_1\), прямая \(DD_1\) — в плоскости грани \(ADD_1A_1\), а прямая \(CC_1\) ни одной из этих плоскостей не принадлежит, поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(CC_1 \parallel ABB_1A_1\) и \(CC_1 \parallel ADD_1A_1\).
Граням \(BCC_1B_1\) и \(CDD_1C_1\) прямая \(CC_1\) принадлежит, а с гранями \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) имеет общие точки \(C\) и \(C_1\).
3) Отрезки \(AA_1\) и \(BB_1\) — противоположные стороны прямоугольника \(ABB_1A_1\), а отрезки \(BB_1\) и \(CC_1\) — противоположные стороны прямоугольника \(BCC_1B_1\), поэтому \(AA_1 \parallel BB_1\), \(AA_1 = BB_1\) и \(BB_1 \parallel CC_1\), \(BB_1 = CC_1\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, значит, \(AA_1 \parallel CC_1\), причём \(AA_1 = CC_1\).
Тогда четырёхугольник \(ACC_1A_1\) — параллелограмм, у которого стороны \(AA_1\) и \(CC_1\) параллельны и равны, откуда \(AC \parallel A_1C_1\). Прямая \(A_1C_1\) лежит в плоскости грани \(A_1B_1C_1D_1\), а прямая \(AC\) этой плоскости не принадлежит. По признаку параллельности прямой и плоскости \(AC \parallel A_1B_1C_1D_1\).
Плоскости грани \(ABCD\) прямая \(AC\) принадлежит; с гранями \(ABB_1A_1\) и \(ADD_1A_1\) у неё общая точка \(A\), а с гранями \(BCC_1B_1\) и \(CDD_1C_1\) — общая точка \(C\).
4) Точки \(E\) и \(F\) — середины рёбер \(CC_1\) и \(DD_1\), поэтому \(CE = \dfrac{1}{2} CC_1\) и \(DF = \dfrac{1}{2} DD_1\). Рёбра \(CC_1\) и \(DD_1\) — противоположные стороны прямоугольника \(CDD_1C_1\), значит, \(CE \parallel DF\) и \(CE = DF\). Тогда четырёхугольник \(CDFE\) — параллелограмм, откуда \(EF \parallel CD\).
Прямая \(CD\) лежит в плоскости грани \(ABCD\), а прямая \(EF\) этой плоскости не принадлежит: точка \(E\) ей не принадлежит. По признаку параллельности прямой и плоскости \(EF \parallel ABCD\).
Отрезки \(CD\) и \(C_1D_1\) — противоположные стороны прямоугольника \(CDD_1C_1\), а отрезки \(CD\) и \(AB\) — противоположные стороны прямоугольника \(ABCD\), поэтому \(CD \parallel C_1D_1\) и \(CD \parallel AB\), а вместе с ними \(EF \parallel C_1D_1\) и \(EF \parallel AB\) как прямые, параллельные прямой \(CD\). Прямая \(C_1D_1\) лежит в плоскости грани \(A_1B_1C_1D_1\), прямая \(AB\) — в плоскости грани \(ABB_1A_1\), а прямая \(EF\) ни одной из этих плоскостей не принадлежит, поэтому \(EF \parallel A_1B_1C_1D_1\) и \(EF \parallel ABB_1A_1\).
Плоскости грани \(CDD_1C_1\) прямая \(EF\) принадлежит, а с гранями \(ADD_1A_1\) и \(BCC_1B_1\) имеет общие точки \(F\) и \(E\).
Ответ: 1) прямая \(AB\) параллельна граням \(CDD_1C_1\) и \(A_1B_1C_1D_1\); 2) прямая \(CC_1\) параллельна граням \(ABB_1A_1\) и \(ADD_1A_1\); 3) прямая \(AC\) параллельна грани \(A_1B_1C_1D_1\); 4) прямая \(EF\) параллельна граням \(ABCD\), \(A_1B_1C_1D_1\) и \(ABB_1A_1\).
Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 5.14), точки \(E\) и \(F\) — середины рёбер \(CC_1\) и \(DD_1\) соответственно. Запишите грани параллелепипеда, которым параллельна прямая: 1) \(AB\); 2) \(CC_1\); 3) \(AC\); 4) \(EF\).
1) Отрезки \(AB\) и \(DC\) — противоположные стороны прямоугольника \(ABCD\), поэтому \(AB \parallel DC\). Прямая \(DC\) лежит в плоскости грани \(CDD_1C_1\), а прямая \(AB\) этой плоскости не принадлежит: точка \(A\) ей не принадлежит. По признаку параллельности прямой и плоскости \(AB \parallel CDD_1C_1\).
Отрезки \(AB\) и \(A_1B_1\) — противоположные стороны прямоугольника \(ABB_1A_1\), поэтому \(AB \parallel A_1B_1\). Прямая \(A_1B_1\) лежит в плоскости грани \(A_1B_1C_1D_1\), а прямая \(AB\) этой плоскости не принадлежит. Значит, \(AB \parallel A_1B_1C_1D_1\).
Граням \(ABCD\) и \(ABB_1A_1\) прямая \(AB\) принадлежит, а с гранями \(ADD_1A_1\) и \(BCC_1B_1\) имеет общие точки \(A\) и \(B\).
2) Отрезки \(CC_1\) и \(BB_1\) — противоположные стороны прямоугольника \(BCC_1B_1\), поэтому \(CC_1 \parallel BB_1\). Прямая \(BB_1\) лежит в плоскости грани \(ABB_1A_1\), а прямая \(CC_1\) этой плоскости не принадлежит. По признаку параллельности прямой и плоскости \(CC_1 \parallel ABB_1A_1\).
Отрезки \(CC_1\) и \(DD_1\) — противоположные стороны прямоугольника \(CDD_1C_1\), поэтому \(CC_1 \parallel DD_1\). Прямая \(DD_1\) лежит в плоскости грани \(ADD_1A_1\), а прямая \(CC_1\) этой плоскости не принадлежит. Значит, \(CC_1 \parallel ADD_1A_1\).
Граням \(BCC_1B_1\) и \(CDD_1C_1\) прямая \(CC_1\) принадлежит, а с гранями \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) имеет общие точки \(C\) и \(C_1\).
3) Отрезки \(AA_1\) и \(BB_1\) — противоположные стороны прямоугольника \(ABB_1A_1\), поэтому \(AA_1 \parallel BB_1\) и \(AA_1 = BB_1\). Отрезки \(BB_1\) и \(CC_1\) — противоположные стороны прямоугольника \(BCC_1B_1\), поэтому \(BB_1 \parallel CC_1\) и \(BB_1 = CC_1\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, значит, \(AA_1 \parallel CC_1\), причём \(AA_1 = CC_1\).
Тогда четырёхугольник \(ACC_1A_1\) — параллелограмм, у которого стороны \(AA_1\) и \(CC_1\) параллельны и равны. Следовательно, \(AC \parallel A_1C_1\). Прямая \(A_1C_1\) лежит в плоскости грани \(A_1B_1C_1D_1\), а прямая \(AC\) этой плоскости не принадлежит. По признаку параллельности прямой и плоскости \(AC \parallel A_1B_1C_1D_1\).
Плоскости грани \(ABCD\) прямая \(AC\) принадлежит; с гранями \(ABB_1A_1\) и \(ADD_1A_1\) у неё общая точка \(A\), а с гранями \(BCC_1B_1\) и \(CDD_1C_1\) — общая точка \(C\).
4) Точки \(E\) и \(F\) — середины рёбер \(CC_1\) и \(DD_1\), поэтому \(CE = \dfrac{1}{2} CC_1\) и \(DF = \dfrac{1}{2} DD_1\). Рёбра \(CC_1\) и \(DD_1\) — противоположные стороны прямоугольника \(CDD_1C_1\), значит, \(CE \parallel DF\) и \(CE = DF\). Тогда четырёхугольник \(CDFE\) — параллелограмм, откуда \(EF \parallel CD\).
Прямая \(CD\) лежит в плоскости грани \(ABCD\), а прямая \(EF\) этой плоскости не принадлежит: точка \(E\) ей не принадлежит. По признаку параллельности прямой и плоскости \(EF \parallel ABCD\).
Отрезки \(CD\) и \(C_1D_1\) — противоположные стороны прямоугольника \(CDD_1C_1\), поэтому \(CD \parallel C_1D_1\). Прямые \(EF\) и \(C_1D_1\) параллельны прямой \(CD\), значит, они параллельны между собой. Прямая \(C_1D_1\) лежит в плоскости грани \(A_1B_1C_1D_1\), а прямая \(EF\) ей не принадлежит, поэтому \(EF \parallel A_1B_1C_1D_1\).
Отрезки \(CD\) и \(AB\) — противоположные стороны прямоугольника \(ABCD\), поэтому \(CD \parallel AB\), а вместе с ним и \(EF \parallel AB\). Прямая \(AB\) лежит в плоскости грани \(ABB_1A_1\), а прямая \(EF\) ей не принадлежит, поэтому \(EF \parallel ABB_1A_1\).
Плоскости грани \(CDD_1C_1\) прямая \(EF\) принадлежит, а с гранями \(ADD_1A_1\) и \(BCC_1B_1\) имеет общие точки \(F\) и \(E\).
Ответ: 1) прямая \(AB\) параллельна граням \(CDD_1C_1\) и \(A_1B_1C_1D_1\); 2) прямая \(CC_1\) параллельна граням \(ABB_1A_1\) и \(ADD_1A_1\); 3) прямая \(AC\) параллельна грани \(A_1B_1C_1D_1\); 4) прямая \(EF\) параллельна граням \(ABCD\), \(A_1B_1C_1D_1\) и \(ABB_1A_1\).
