Страница 57 номер 5.38, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(M\), \(N\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(AB\), \(BC\) и \(CA\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\). Докажите, что прямые \(C_1M\), \(A_1N\) и \(B_1K\) пересекаются в одной точке.
Отрезок \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому \(MN \parallel AC\) и \(MN = \dfrac{1}{2}AC\).
Четырёхугольник \(ACC_1A_1\) — параллелограмм, так как это боковая грань призмы, поэтому \(AC \parallel A_1C_1\) и \(AC = A_1C_1\). Значит, \(MN \parallel A_1C_1\), причём \(MN = \dfrac{1}{2}A_1C_1\).
Через две параллельные прямые \(MN\) и \(A_1C_1\) проходит плоскость и притом только одна. В этой плоскости лежит четырёхугольник \(A_1C_1NM\), у которого стороны \(A_1C_1\) и \(NM\) параллельны и не равны, то есть это трапеция с основаниями \(A_1C_1\) и \(MN\). Её диагонали \(A_1N\) и \(C_1M\) пересекаются; пусть \(P\) — точка их пересечения.
Треугольники \(PA_1C_1\) и \(PNM\) подобны по двум углам: углы при вершине \(P\) вертикальные, а \(\angle PA_1C_1 = \angle PNM\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(A_1C_1\) и \(MN\) и секущей \(A_1N\). Коэффициент подобия равен \(\dfrac{A_1C_1}{NM} = 2\), поэтому \(A_1P : PN = 2 : 1\).
Точно так же отрезок \(NK\) — средняя линия треугольника \(ABC\), а грань \(ABB_1A_1\) — параллелограмм, поэтому \(NK \parallel A_1B_1\) и \(NK = \dfrac{1}{2}A_1B_1\). Четырёхугольник \(A_1B_1NK\) — трапеция с основаниями \(A_1B_1\) и \(KN\); её диагонали \(A_1N\) и \(B_1K\) пересекаются в некоторой точке \(Q\), причём \(A_1Q : QN = 2 : 1\).
Точки \(P\) и \(Q\) лежат на отрезке \(A_1N\) и делят его в одном и том же отношении \(2 : 1\), считая от точки \(A_1\), поэтому эти точки совпадают. Значит, прямые \(C_1M\), \(A_1N\) и \(B_1K\) проходят через точку \(P\).
Ответ: прямые \(C_1M\), \(A_1N\) и \(B_1K\) пересекаются в одной точке, которая делит каждый из отрезков \(A_1N\), \(B_1K\) и \(C_1M\) в отношении \(2 : 1\), считая от вершины верхнего основания.
Точки \(M\), \(N\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(AB\), \(BC\) и \(CA\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\). Докажите, что прямые \(C_1M\), \(A_1N\) и \(B_1K\) пересекаются в одной точке.
Отрезок \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому \(MN \parallel AC\) и \(MN = \dfrac{1}{2}AC\).
Четырёхугольник \(ACC_1A_1\) — параллелограмм, так как это боковая грань призмы, поэтому \(AC \parallel A_1C_1\) и \(AC = A_1C_1\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, значит, \(MN \parallel A_1C_1\), причём \(MN = \dfrac{1}{2}A_1C_1\).
Через две параллельные прямые \(MN\) и \(A_1C_1\) проходит плоскость и притом только одна. В этой плоскости лежит четырёхугольник \(A_1C_1NM\), у которого стороны \(A_1C_1\) и \(NM\) параллельны и не равны, то есть это трапеция с основаниями \(A_1C_1\) и \(MN\). Её диагонали \(A_1N\) и \(C_1M\) пересекаются; пусть \(P\) — точка их пересечения.
Треугольники \(PA_1C_1\) и \(PNM\) подобны по двум углам: углы при вершине \(P\) вертикальные, а \(\angle PA_1C_1 = \angle PNM\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(A_1C_1\) и \(MN\) и секущей \(A_1N\). Коэффициент подобия равен \(\dfrac{A_1C_1}{NM} = 2\), поэтому \(A_1P : PN = 2 : 1\) и \(C_1P : PM = 2 : 1\).
Отрезок \(NK\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому \(NK \parallel AB\) и \(NK = \dfrac{1}{2}AB\). Четырёхугольник \(ABB_1A_1\) — параллелограмм, поэтому \(AB \parallel A_1B_1\) и \(AB = A_1B_1\), а значит, \(NK \parallel A_1B_1\) и \(NK = \dfrac{1}{2}A_1B_1\). Как и выше, четырёхугольник \(A_1B_1NK\) — трапеция с основаниями \(A_1B_1\) и \(KN\); её диагонали \(A_1N\) и \(B_1K\) пересекаются в некоторой точке \(Q\), причём из того же подобия \(A_1Q : QN = 2 : 1\) и \(B_1Q : QK = 2 : 1\).
Точки \(P\) и \(Q\) лежат на отрезке \(A_1N\) и делят его в одном и том же отношении \(2 : 1\), считая от точки \(A_1\), поэтому эти точки совпадают. Значит, прямые \(C_1M\), \(A_1N\) и \(B_1K\) проходят через точку \(P\).
Ответ: прямые \(C_1M\), \(A_1N\) и \(B_1K\) пересекаются в одной точке, которая делит каждый из отрезков \(A_1N\), \(B_1K\) и \(C_1M\) в отношении \(2 : 1\), считая от вершины верхнего основания.
