Страница 57 номер 5.37, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(M\) — середина ребра \(CC_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки \(D\) и \(M\) параллельно прямой \(AC_1\).
Плоскость \(ACC_1\) содержит прямую \(AC_1\) и точку \(M\), так как ребро \(CC_1\) принадлежит этой плоскости. Секущая плоскость от плоскости \(ACC_1\) отлична: плоскость \(ACC_1\) пересекает плоскость основания по прямой \(AC\), а точка \(D\) секущей плоскости не лежит на прямой \(AC\), потому что диагональ \(AC\) квадрата \(ABCD\) не проходит через вершину \(D\). Значит, эти две плоскости имеют общую точку \(M\) и по аксиоме А5 пересекаются по прямой, проходящей через точку \(M\).
Прямая \(AC_1\) лежит в плоскости \(ACC_1\) и параллельна секущей плоскости, поэтому плоскости \(ACC_1\) и секущая пересекаются по прямой, проходящей через точку \(M\) параллельно прямой \(C_1A\).
Проведём в плоскости \(ACC_1A_1\) через точку \(M\) прямую, параллельную прямой \(C_1A\). В треугольнике \(CC_1A\) она проходит через середину \(M\) стороны \(CC_1\) параллельно стороне \(C_1A\), поэтому пересекает сторону \(CA\) в её середине. Середина диагонали \(AC\) — это точка \(O\) пересечения диагоналей квадрата \(ABCD\).
Точки \(D\) и \(O\) принадлежат и секущей плоскости, и плоскости основания, поэтому прямая \(DO\) — линия пересечения этих плоскостей. Точка \(O\) — середина диагонали \(BD\) квадрата \(ABCD\), значит, прямая \(DO\) проходит через вершину \(B\), и точка \(B\) принадлежит секущей плоскости.
Отрезок \(BD\) лежит в грани \(ABCD\), отрезок \(DM\) — в грани \(CDD_1C_1\), отрезок \(MB\) — в грани \(BCC_1B_1\). Значит, треугольник \(BDM\) — искомое сечение.
Ответ: сечение — треугольник \(BDM\), где \(M\) — середина ребра \(CC_1\).
Точка \(M\) — середина ребра \(CC_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки \(D\) и \(M\) параллельно прямой \(AC_1\).
Плоскость \(ACC_1\) содержит прямую \(AC_1\) и точку \(M\), так как ребро \(CC_1\) принадлежит этой плоскости. Секущая плоскость от плоскости \(ACC_1\) отлична: плоскость \(ACC_1\) пересекает плоскость основания по прямой \(AC\), а точка \(D\) секущей плоскости не лежит на прямой \(AC\), потому что диагональ \(AC\) квадрата \(ABCD\) не проходит через вершину \(D\). Значит, эти две плоскости имеют общую точку \(M\) и по аксиоме А5 пересекаются по прямой, проходящей через точку \(M\).
Прямая \(AC_1\) лежит в плоскости \(ACC_1\) и параллельна секущей плоскости. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Следовательно, плоскости \(ACC_1\) и секущая пересекаются по прямой, проходящей через точку \(M\) параллельно прямой \(C_1A\).
Проведём в плоскости \(ACC_1A_1\) через точку \(M\) прямую, параллельную прямой \(C_1A\). В треугольнике \(CC_1A\) она проходит через середину \(M\) стороны \(CC_1\) параллельно стороне \(C_1A\), поэтому пересекает сторону \(CA\) в её середине. Середина диагонали \(AC\) — это точка \(O\) пересечения диагоналей квадрата \(ABCD\).
Точки \(D\) и \(O\) принадлежат и секущей плоскости, и плоскости основания. По аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, а по аксиоме А4 прямая \(DO\) принадлежит каждой из них, поэтому прямая \(DO\) — линия их пересечения. Точка \(O\) — середина диагонали \(BD\) квадрата \(ABCD\), значит, прямая \(DO\) проходит через вершину \(B\), и точка \(B\) принадлежит секущей плоскости.
Отрезок \(BD\) лежит в грани \(ABCD\), отрезок \(DM\) — в грани \(CDD_1C_1\), отрезок \(MB\) — в грани \(BCC_1B_1\). Значит, треугольник \(BDM\) — искомое сечение.
Ответ: сечение — треугольник \(BDM\), где \(M\) — середина ребра \(CC_1\).
