Страница 56 номер 5.36, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Обозначим ребро куба через \(a\).

Отрезок \(EF\) — средняя линия треугольника \(ACD\), поэтому \(EF \parallel AC\).

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей квадрата \(ABCD\). Тогда \(O\) — середина диагонали \(AC\), а отрезок \(DO\) лежит на диагонали \(BD\). В треугольнике \(ADO\) прямая \(EF\) проходит через середину \(E\) стороны \(AD\) параллельно стороне \(AO\), поэтому она пересекает сторону \(DO\) в её середине; обозначим эту точку \(T\). Получаем: \(DT = \dfrac{1}{2}DO = \dfrac{1}{4}BD\), значит, \(BT : TD = 3 : 1\).

Плоскость \(BDD_1B_1\) пересекает плоскость основания по прямой \(BD\), а точка \(E\) прямой \(BD\) не принадлежит: диагональ \(BD\) квадрата имеет со стороной \(AD\) единственную общую точку \(D\). Значит, секущая плоскость и плоскость \(BDD_1B_1\) различны и имеют общую точку \(T\), поэтому по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, проходящей через точку \(T\).

Прямая \(B_1D\) лежит в плоскости \(BDD_1B_1\) и параллельна секущей плоскости. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Следовательно, плоскости \(BDD_1B_1\) и секущая пересекаются по прямой, проходящей через точку \(T\) параллельно прямой \(DB_1\).

Проведём в плоскости \(BDD_1B_1\) через точку \(T\) прямую, параллельную прямой \(DB_1\). В треугольнике \(DBB_1\) она проходит через точку \(T\) стороны \(DB\) параллельно стороне \(DB_1\), поэтому пересекает сторону \(BB_1\) в точке \(R\), причём \(\dfrac{BR}{BB_1} = \dfrac{BT}{BD} = \dfrac{3}{4}\). Значит, \(BR = \dfrac{3a}{4}\) и \(BR : RB_1 = 3 : 1\).

Прямая \(EF\) лежит и в плоскости основания, и в секущей плоскости. По аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, поэтому прямая \(EF\) и есть линия их пересечения, а отрезок \(EF\) — сторона сечения в грани \(ABCD\).

На продолжении ребра \(BA\) за точку \(A\) отложим отрезок \(AU = \dfrac{a}{2}\). Прямоугольные треугольники \(UAE\) и \(FDE\) равны по двум катетам: \(AU = DF = \dfrac{a}{2}\) и \(AE = DE = \dfrac{a}{2}\). Значит, \(\angle AEU = \angle DEF\), а поскольку точки \(U\) и \(F\) лежат по разные стороны от прямой \(AD\), эти углы вертикальные. Следовательно, точка \(U\) лежит на прямой \(EF\). Точно так же на продолжении ребра \(BC\) за точку \(C\) отложим отрезок \(CV = \dfrac{a}{2}\); точка \(V\) также лежит на прямой \(EF\).

Точки \(U\) и \(R\) принадлежат и секущей плоскости, и плоскости \(ABB_1\). По аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, а по аксиоме А4 прямая \(UR\) принадлежит каждой из них, поэтому прямая \(UR\) — линия их пересечения. Она пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(P\). Треугольники \(UAP\) и \(UBR\) подобны: угол при вершине \(U\) у них общий, а \(AP \parallel BR\), так как прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) параллельны. Отсюда \[\frac{AP}{BR} = \frac{UA}{UB} = \frac{a}{2} : \frac{3a}{2} = \frac{1}{3},\] поэтому \(AP = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3a}{4} = \dfrac{a}{4}\), то есть \(AP : PA_1 = 1 : 3\).

Точно так же прямая \(VR\) — линия пересечения секущей плоскости и плоскости \(BCC_1\); она пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(S\), причём \(CS = \dfrac{a}{4}\) и \(CS : SC_1 = 1 : 3\).

Точки \(E\) и \(P\) лежат в грани \(ADD_1A_1\), точки \(P\) и \(R\) — в грани \(ABB_1A_1\), точки \(R\) и \(S\) — в грани \(BCC_1B_1\), точки \(S\) и \(F\) — в грани \(CDD_1C_1\), точки \(F\) и \(E\) — в грани \(ABCD\). Значит, пятиугольник \(EPRSF\) — искомое сечение.

Ответ: сечение — пятиугольник \(EPRSF\), у которого точки \(P\) и \(S\) лежат на рёбрах \(AA_1\) и \(CC_1\), причём \(AP : PA_1 = CS : SC_1 = 1 : 3\), а точка \(R\) лежит на ребре \(BB_1\), причём \(BR : RB_1 = 3 : 1\).