Страница 56 номер 5.35, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На ребре \(BB_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили точки \(E\) и \(F\) (рис. 5.26). Постройте линию пересечения плоскостей \(AFD\) и \(A_1ED_1\).
Точки \(A\), \(A_1\), \(E\) и \(F\) принадлежат плоскости грани \(ABB_1A_1\), поскольку точки \(E\) и \(F\) лежат на ребре \(BB_1\). Значит, прямые \(AF\) и \(A_1E\) лежат в одной плоскости.
Прямая \(A_1E\) разбивает параллелограмм \(ABB_1A_1\) на треугольник \(A_1B_1E\) и четырёхугольник \(AA_1EB\). Точка \(A\) — вершина этого четырёхугольника, а точка \(F\) лежит на стороне \(EB_1\) треугольника и отлична от точки \(E\): как видно на рисунке, точка \(F\) лежит между точками \(E\) и \(B_1\). Значит, точки \(A\) и \(F\) лежат по разные стороны от прямой \(A_1E\), поэтому отрезок \(AF\) пересекает прямую \(A_1E\). Пусть \(X\) — точка их пересечения.
Точка \(X\) лежит на прямой \(AF\), а значит, принадлежит плоскости \(AFD\); она лежит и на прямой \(A_1E\), а значит, принадлежит плоскости \(A_1ED_1\). По аксиоме А5 плоскости \(AFD\) и \(A_1ED_1\) пересекаются по прямой, и эта прямая проходит через точку \(X\).
Грань \(ADD_1A_1\) — параллелограмм, поэтому \(AD \parallel A_1D_1\); прямая \(AD\) лежит в плоскости \(AFD\), прямая \(A_1D_1\) — в плоскости \(A_1ED_1\).
Линия пересечения этих плоскостей отлична от прямой \(AD\): точка \(A\) — единственная общая точка прямой \(AD\) и плоскости \(ABB_1A_1\), ведь иначе по аксиоме А4 вся прямая \(AD\) принадлежала бы этой плоскости, тогда как точка \(D\) ей не принадлежит. Точка \(X\) от точки \(A\) отлична: иначе точки \(A\), \(A_1\) и \(E\) лежали бы на одной прямой, то есть точка \(E\) принадлежала бы прямой \(AA_1\), тогда как \(E\) — точка ребра \(BB_1\), а параллельные прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) общих точек не имеют. Так же линия пересечения отлична и от прямой \(A_1D_1\).
Через каждую из параллельных прямых \(AD\) и \(A_1D_1\) проведена плоскость, и эти плоскости пересекаются по прямой, отличной от двух данных, поэтому линия пересечения плоскостей \(AFD\) и \(A_1ED_1\) параллельна прямой \(AD\) и прямой \(A_1D_1\).
Проведём через точку \(X\) прямую, параллельную ребру \(AD\). Такая прямая только одна, поэтому она и есть линия пересечения плоскостей \(AFD\) и \(A_1ED_1\). Внутри параллелепипеда она идёт от точки \(X\) грани \(ABB_1A_1\) до точки \(Y\) грани \(CDD_1C_1\).
Ответ: линия пересечения плоскостей \(AFD\) и \(A_1ED_1\) — прямая, проходящая через точку \(X\) пересечения прямых \(AF\) и \(A_1E\) параллельно рёбрам \(AD\) и \(A_1D_1\).
На ребре \(BB_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили точки \(E\) и \(F\) (рис. 5.26). Постройте линию пересечения плоскостей \(AFD\) и \(A_1ED_1\).
Точки \(A\), \(A_1\), \(E\) и \(F\) принадлежат плоскости грани \(ABB_1A_1\), поскольку точки \(E\) и \(F\) лежат на ребре \(BB_1\). Значит, прямые \(AF\) и \(A_1E\) лежат в одной плоскости.
Прямая \(A_1E\) разбивает параллелограмм \(ABB_1A_1\) на треугольник \(A_1B_1E\) и четырёхугольник \(AA_1EB\). Точка \(A\) — вершина этого четырёхугольника, а точка \(F\) лежит на стороне \(EB_1\) треугольника и отлична от точки \(E\): как видно на рисунке, точка \(F\) лежит между точками \(E\) и \(B_1\). Значит, точки \(A\) и \(F\) лежат по разные стороны от прямой \(A_1E\), поэтому отрезок \(AF\) пересекает прямую \(A_1E\). Пусть \(X\) — точка их пересечения.
Точка \(X\) лежит на прямой \(AF\), а значит, принадлежит плоскости \(AFD\); она лежит и на прямой \(A_1E\), а значит, принадлежит плоскости \(A_1ED_1\). По аксиоме А5 плоскости \(AFD\) и \(A_1ED_1\) пересекаются по прямой, и эта прямая проходит через точку \(X\).
Грань \(ADD_1A_1\) — параллелограмм, поэтому \(AD \parallel A_1D_1\). Прямая \(AD\) лежит в плоскости \(AFD\), прямая \(A_1D_1\) — в плоскости \(A_1ED_1\).
Линия пересечения этих плоскостей отлична от прямой \(AD\). Действительно, точка \(A\) — общая точка прямой \(AD\) и плоскости \(ABB_1A_1\), и другой общей точки у них нет: иначе по аксиоме А4 вся прямая \(AD\) принадлежала бы этой плоскости, тогда как точка \(D\) ей не принадлежит. Точка \(X\) от точки \(A\) отлична: иначе точки \(A\), \(A_1\) и \(E\) лежали бы на одной прямой, то есть точка \(E\) принадлежала бы прямой \(AA_1\), тогда как \(E\) — точка ребра \(BB_1\), а параллельные прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) общих точек не имеют. Так же линия пересечения отлична и от прямой \(A_1D_1\).
Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причём эти плоскости пересекаются по прямой, отличной от двух данных, то эта прямая параллельна каждой из двух данных прямых. Следовательно, линия пересечения плоскостей \(AFD\) и \(A_1ED_1\) параллельна прямой \(AD\) и прямой \(A_1D_1\).
Проведём через точку \(X\) прямую, параллельную ребру \(AD\). Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна, поэтому проведённая прямая и есть линия пересечения плоскостей \(AFD\) и \(A_1ED_1\). Внутри параллелепипеда она идёт от точки \(X\) грани \(ABB_1A_1\) до точки \(Y\) грани \(CDD_1C_1\).
Ответ: линия пересечения плоскостей \(AFD\) и \(A_1ED_1\) — прямая, проходящая через точку \(X\) пересечения прямых \(AF\) и \(A_1E\) параллельно рёбрам \(AD\) и \(A_1D_1\).
