Страница 56 номер 5.34, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рёбрах \(AB\) и \(C_1D_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(M\) и \(K\). Постройте линию пересечения плоскостей \(AA_1K\) и \(DD_1M\). Каково взаимное расположение построенной прямой и прямой \(AA_1\)?
Грань \(ADD_1A_1\) — параллелограмм, поэтому \(AA_1 \parallel DD_1\).
Прямая \(AA_1\) не принадлежит плоскости \(CDD_1\): иначе этой плоскости принадлежали бы не лежащие на одной прямой точки \(A\), \(C\) и \(D\), и по аксиоме А3 эта плоскость совпала бы с плоскостью \(ABC\), а точка \(D_1\) плоскости \(ABC\) не принадлежит. Поскольку \(AA_1 \parallel DD_1\), а прямая \(DD_1\) лежит в плоскости \(CDD_1\), то по признаку параллельности прямой и плоскости \(AA_1 \parallel CDD_1\).
Плоскость \(AA_1K\) проходит через прямую \(AA_1\), параллельную плоскости \(CDD_1\), и пересекает эту плоскость: точка \(K\) принадлежит им обеим. Значит, плоскости \(AA_1K\) и \(CDD_1\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(AA_1\), а потому и параллельно прямой \(DD_1\).
Проведём в грани \(CDD_1C_1\) через точку \(K\) прямую, параллельную ребру \(DD_1\). Она пересекает сторону \(CD\) параллелограмма \(CDD_1C_1\) в некоторой точке \(N\).
Точки \(A\) и \(N\) принадлежат и плоскости \(AA_1K\), и плоскости \(ABC\); по аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, а по аксиоме А4 прямая \(AN\) принадлежит каждой из них, поэтому прямая \(AN\) — линия их пересечения. Точно так же плоскости \(DD_1M\) и \(ABC\) пересекаются по прямой \(DM\).
Прямая \(DM\) разбивает прямоугольник \(ABCD\) на треугольник \(AMD\) и четырёхугольник \(MBCD\). Точка \(N\) лежит на стороне \(CD\) и отлична от точки \(D\), значит, точки \(A\) и \(N\) лежат по разные стороны от прямой \(DM\), поэтому отрезок \(AN\) пересекает прямую \(DM\). Пусть \(X\) — точка их пересечения.
Точка \(X\) лежит на прямой \(AN\), а значит, принадлежит плоскости \(AA_1K\); она лежит и на прямой \(DM\), а значит, принадлежит плоскости \(DD_1M\). По аксиоме А5 плоскости \(AA_1K\) и \(DD_1M\) пересекаются по прямой, и эта прямая проходит через точку \(X\).
Точка \(A\) — единственная общая точка прямой \(AA_1\) и плоскости \(ABC\): иначе по аксиоме А4 вся прямая \(AA_1\) принадлежала бы плоскости \(ABC\), тогда как точка \(A_1\) этой плоскости не принадлежит. Точка \(A\) не лежит на прямой \(DM\): иначе точка \(M\) лежала бы на прямой \(AD\), тогда как \(M\) — точка ребра \(AB\), отличная от точки \(A\). Значит, точка \(X\) не принадлежит прямой \(AA_1\), и линия пересечения плоскостей \(AA_1K\) и \(DD_1M\) отлична от прямой \(AA_1\). Так же она отлична и от прямой \(DD_1\).
Через каждую из параллельных прямых \(AA_1\) и \(DD_1\) проведена плоскость: прямая \(AA_1\) лежит в плоскости \(AA_1K\), прямая \(DD_1\) — в плоскости \(DD_1M\), а пересекаются эти плоскости по прямой, отличной от двух данных. Следовательно, линия пересечения плоскостей \(AA_1K\) и \(DD_1M\) параллельна прямой \(AA_1\).
Проведём через точку \(X\) прямую, параллельную ребру \(AA_1\); она и есть искомая линия пересечения.
Ответ: линия пересечения плоскостей \(AA_1K\) и \(DD_1M\) — прямая, проходящая через точку \(X\) пересечения прямых \(AN\) и \(DM\) параллельно ребру \(AA_1\); построенная прямая параллельна прямой \(AA_1\).
На рёбрах \(AB\) и \(C_1D_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(M\) и \(K\). Постройте линию пересечения плоскостей \(AA_1K\) и \(DD_1M\). Каково взаимное расположение построенной прямой и прямой \(AA_1\)?
Грань \(ADD_1A_1\) — параллелограмм, поэтому \(AA_1 \parallel DD_1\).
Прямая \(AA_1\) не принадлежит плоскости \(CDD_1\). Действительно, если бы точка \(A\) принадлежала этой плоскости, то плоскости \(CDD_1\) принадлежали бы три точки \(A\), \(C\) и \(D\), не лежащие на одной прямой, и по аксиоме А3 эта плоскость совпала бы с плоскостью \(ABC\), а точка \(D_1\) плоскости \(ABC\) не принадлежит.
Поскольку \(AA_1 \parallel DD_1\) и прямая \(DD_1\) лежит в плоскости \(CDD_1\), то по признаку параллельности прямой и плоскости \(AA_1 \parallel CDD_1\).
Плоскость \(AA_1K\) проходит через прямую \(AA_1\), параллельную плоскости \(CDD_1\), и пересекает эту плоскость: точка \(K\) принадлежит им обеим. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, плоскости \(AA_1K\) и \(CDD_1\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(AA_1\), а потому и параллельно прямой \(DD_1\).
Точка \(K\) лежит на ребре \(C_1D_1\) и отлична от вершины \(D_1\), поэтому прямой \(DD_1\) она не принадлежит. Проведём в грани \(CDD_1C_1\) через точку \(K\) прямую, параллельную ребру \(DD_1\). Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна, поэтому проведённая прямая и есть линия пересечения плоскостей \(AA_1K\) и \(CDD_1\).
Эта прямая пересекает сторону \(CD\) параллелограмма \(CDD_1C_1\) в некоторой точке \(N\), и точка \(N\) принадлежит плоскости \(AA_1K\). От точки \(D\) точка \(N\) отлична: прямая \(KN\) параллельна прямой \(DD_1\), поэтому общих точек с ней не имеет, а точка \(D\) прямой \(DD_1\) принадлежит.
Точки \(A\) и \(N\) принадлежат и плоскости \(AA_1K\), и плоскости \(ABC\). По аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, а по аксиоме А4 прямая \(AN\) принадлежит каждой из них, поэтому прямая \(AN\) — линия их пересечения. Точно так же точки \(D\) и \(M\) принадлежат и плоскости \(DD_1M\), и плоскости \(ABC\), поэтому плоскости \(DD_1M\) и \(ABC\) пересекаются по прямой \(DM\).
Прямая \(DM\) разбивает прямоугольник \(ABCD\) на треугольник \(AMD\) и четырёхугольник \(MBCD\). Точка \(N\) лежит на стороне \(CD\) и отлична от точки \(D\), значит, точки \(A\) и \(N\) лежат по разные стороны от прямой \(DM\). Поэтому отрезок \(AN\) пересекает прямую \(DM\). Пусть \(X\) — точка их пересечения.
Точка \(X\) лежит на прямой \(AN\), а значит, принадлежит плоскости \(AA_1K\); она лежит и на прямой \(DM\), а значит, принадлежит плоскости \(DD_1M\). По аксиоме А5 плоскости \(AA_1K\) и \(DD_1M\) пересекаются по прямой, и эта прямая проходит через точку \(X\).
Точка \(A\) — общая точка прямой \(AA_1\) и плоскости \(ABC\), и другой общей точки у них нет: иначе по аксиоме А4 вся прямая \(AA_1\) принадлежала бы плоскости \(ABC\), тогда как точка \(A_1\) этой плоскости не принадлежит. Точка \(A\) не лежит на прямой \(DM\): иначе точки \(A\), \(D\) и \(M\) лежали бы на одной прямой, то есть точка \(M\) лежала бы на прямой \(AD\), тогда как \(M\) — точка ребра \(AB\), отличная от точки \(A\). Значит, точка \(X\) не принадлежит прямой \(AA_1\), и линия пересечения плоскостей \(AA_1K\) и \(DD_1M\) отлична от прямой \(AA_1\). Так же она отлична и от прямой \(DD_1\).
Прямая \(AA_1\) лежит в плоскости \(AA_1K\), прямая \(DD_1\) — в плоскости \(DD_1M\), причём \(AA_1 \parallel DD_1\). Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причём эти плоскости пересекаются по прямой, отличной от двух данных, то эта прямая параллельна каждой из двух данных прямых. Следовательно, линия пересечения плоскостей \(AA_1K\) и \(DD_1M\) параллельна прямой \(AA_1\).
Проведём через точку \(X\) прямую, параллельную ребру \(AA_1\); она и есть искомая линия пересечения.
Ответ: линия пересечения плоскостей \(AA_1K\) и \(DD_1M\) — прямая, проходящая через точку \(X\) пересечения прямых \(AN\) и \(DM\) параллельно ребру \(AA_1\); построенная прямая параллельна прямой \(AA_1\).
