Страница 56 номер 5.33, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рёбрах \(AD\) и \(BC\) тетраэдра \(DABC\) отметили соответственно точки \(M\) и \(K\) (рис. 5.25). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую \(MK\) параллельно прямой \(AB\).
Прямая \(AB\) параллельна секущей плоскости, поэтому общих точек с ней она не имеет. Прямая \(AB\) принадлежит и плоскости \(ABD\), и плоскости \(ABC\), значит, секущая плоскость не совпадает ни с одной из них.
Точка \(M\) принадлежит ребру \(AD\), а значит, и плоскости \(ABD\); принадлежит она и секущей плоскости. По аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку \(M\).
Плоскость \(ABD\) проходит через прямую \(AB\), параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость, поэтому линия их пересечения параллельна прямой \(AB\). Проведём в треугольнике \(ABD\) через точку \(M\) прямую, параллельную прямой \(AB\); она пересекает сторону \(BD\) в точке \(R\).
Точно так же плоскость \(ABC\) проходит через прямую \(AB\), параллельную секущей плоскости, и пересекает её: общая точка этих плоскостей — точка \(K\) ребра \(BC\). Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(ABC\) по прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(AB\); эта прямая пересекает сторону \(AC\) в точке \(S\).
Точки \(M\) и \(S\) принадлежат плоскости грани \(ACD\), а точки \(K\) и \(R\) — плоскости грани \(BCD\), поэтому секущая плоскость пересекает эти грани по отрезкам \(MS\) и \(KR\). Четырёхугольник \(MSKR\) — искомое сечение.
Ответ: сечение — четырёхугольник \(MSKR\), у которого \(MR \parallel AB\) и \(SK \parallel AB\).
На рёбрах \(AD\) и \(BC\) тетраэдра \(DABC\) отметили соответственно точки \(M\) и \(K\) (рис. 5.25). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую \(MK\) параллельно прямой \(AB\).
Прямая \(AB\) параллельна секущей плоскости, поэтому общих точек с ней она не имеет. Прямая \(AB\) принадлежит и плоскости \(ABD\), и плоскости \(ABC\), значит, секущая плоскость не совпадает ни с одной из них.
Точка \(M\) принадлежит ребру \(AD\), а значит, и плоскости \(ABD\); принадлежит она и секущей плоскости. По аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку \(M\).
Плоскость \(ABD\) проходит через прямую \(AB\), параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(ABD\) по прямой, проходящей через точку \(M\) параллельно прямой \(AB\). Проведём в треугольнике \(ABD\) через точку \(M\) прямую, параллельную прямой \(AB\); она пересекает сторону \(BD\) в точке \(R\).
Точно так же плоскость \(ABC\) проходит через прямую \(AB\), параллельную секущей плоскости, и пересекает её: общая точка этих плоскостей — точка \(K\) ребра \(BC\). Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(ABC\) по прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(AB\); эта прямая пересекает сторону \(AC\) в точке \(S\).
Точки \(M\) и \(S\) принадлежат плоскости грани \(ACD\), поэтому секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(MS\). Точки \(K\) и \(R\) принадлежат плоскости грани \(BCD\), поэтому секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(KR\). Четырёхугольник \(MSKR\) — искомое сечение.
Ответ: сечение — четырёхугольник \(MSKR\), у которого \(MR \parallel AB\) и \(SK \parallel AB\).
