Страница 56 номер 5.32, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рёбрах \(AD\) и \(BC\) тетраэдра \(DABC\) отметили соответственно точки \(M\) и \(K\) (рис. 5.25). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую \(MK\) параллельно прямой \(CD\).
Прямая \(CD\) параллельна секущей плоскости, поэтому общих точек с ней она не имеет, и секущая плоскость не совпадает с плоскостью \(ACD\), которой прямая \(CD\) принадлежит. Точка \(M\) принадлежит ребру \(AD\), а значит, и плоскости \(ACD\); принадлежит она и секущей плоскости. По аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку \(M\).
Плоскость \(ACD\) проходит через прямую \(CD\), параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость, поэтому линия их пересечения проходит через точку \(M\) параллельно прямой \(CD\). Проведём в треугольнике \(ACD\) через точку \(M\) прямую, параллельную прямой \(CD\); она пересекает сторону \(AC\) в точке \(P\).
Точно так же плоскость \(BCD\) проходит через прямую \(CD\), параллельную секущей плоскости, и пересекает её: общая точка этих плоскостей — точка \(K\) ребра \(BC\). Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(BCD\) по прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(CD\); эта прямая пересекает сторону \(BD\) в точке \(Q\).
Точки \(P\) и \(K\) принадлежат плоскости грани \(ABC\), а точки \(Q\) и \(M\) — плоскости грани \(ABD\), поэтому секущая плоскость пересекает эти грани по отрезкам \(PK\) и \(QM\). Четырёхугольник \(MPKQ\) — искомое сечение.
Ответ: сечение — четырёхугольник \(MPKQ\), у которого \(MP \parallel CD\) и \(KQ \parallel CD\).
На рёбрах \(AD\) и \(BC\) тетраэдра \(DABC\) отметили соответственно точки \(M\) и \(K\) (рис. 5.25). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую \(MK\) параллельно прямой \(CD\).
Прямая \(CD\) параллельна секущей плоскости, поэтому общих точек с ней она не имеет. Прямая \(CD\) принадлежит плоскости \(ACD\), значит, секущая плоскость с плоскостью \(ACD\) не совпадает. Точка \(M\) принадлежит ребру \(AD\), а значит, и плоскости \(ACD\); принадлежит она и секущей плоскости. По аксиоме А5 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку \(M\).
Плоскость \(ACD\) проходит через прямую \(CD\), параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(ACD\) по прямой, проходящей через точку \(M\) параллельно прямой \(CD\). Проведём в треугольнике \(ACD\) через точку \(M\) прямую, параллельную прямой \(CD\); она пересекает сторону \(AC\) в точке \(P\).
Точно так же плоскость \(BCD\) проходит через прямую \(CD\), параллельную секущей плоскости, и пересекает её: общая точка этих плоскостей — точка \(K\) ребра \(BC\). Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(BCD\) по прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(CD\); эта прямая пересекает сторону \(BD\) в точке \(Q\).
Точки \(P\) и \(K\) принадлежат плоскости грани \(ABC\), поэтому секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(PK\). Точки \(Q\) и \(M\) принадлежат плоскости грани \(ABD\), поэтому секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(QM\). Четырёхугольник \(MPKQ\) — искомое сечение.
Ответ: сечение — четырёхугольник \(MPKQ\), у которого \(MP \parallel CD\) и \(KQ \parallel CD\).
