Страница 56 номер 5.31, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На ребре \(BC\) тетраэдра \(DABC\) отметили точку \(E\) так, что \(BE : EC = 2 : 1\). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \(E\) параллельно прямым \(AB\) и \(CD\). Найдите периметр сечения, если \(AB = 18\) см, \(CD = 12\) см.
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(E \in BC\), \(BE : EC = 2 : 1\)
секущая плоскость проходит через точку \(E\) параллельно прямым \(AB\) и \(CD\)
\(AB = 18\) см
\(CD = 12\) см
Найти: периметр сечения.
Решение:
Прямая \(CD\) имеет с плоскостью \(ABC\) ровно одну общую точку \(C\): если бы общих точек было две, то по аксиоме А4 вся прямая \(CD\) принадлежала бы плоскости \(ABC\) и точка \(D\) лежала бы в плоскости \(ABC\). Секущей плоскости прямая \(CD\) параллельна, поэтому секущая плоскость не совпадает ни с плоскостью \(ABC\), ни с плоскостями \(BCD\) и \(ACD\), которым прямая \(CD\) принадлежит. У секущей плоскости и плоскости \(ABC\) есть общая точка \(E\), значит, по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, проходящей через точку \(E\).
Плоскость \(ABC\) проходит через прямую \(AB\), параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость, поэтому линия их пересечения проходит через точку \(E\) параллельно прямой \(AB\); эта прямая пересекает сторону \(AC\) треугольника \(ABC\) в точке \(F\).
Поскольку \(BE : EC = 2 : 1\), то \(CE : CB = 1 : 3\). Из \(EF \parallel AB\) следует, что треугольники \(CEF\) и \(CBA\) подобны, поэтому \(\dfrac{EF}{AB} = \dfrac{CE}{CB} = \dfrac{1}{3}\), откуда \(EF = 18 : 3 = 6\) (см), и \(CF : CA = 1 : 3\), то есть \(AF : AC = 2 : 3\).
Плоскость \(BCD\) проходит через прямую \(CD\), параллельную секущей плоскости, и пересекает её: общая точка этих плоскостей — точка \(E\) ребра \(BC\). Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(BCD\) по прямой, проходящей через точку \(E\) параллельно прямой \(CD\); эта прямая пересекает сторону \(BD\) треугольника \(BCD\) в точке \(K\). Треугольники \(BEK\) и \(BCD\) подобны, поэтому \(\dfrac{EK}{CD} = \dfrac{BE}{BC} = \dfrac{2}{3}\), откуда \(EK = 8\) см, и \(BK : BD = 2 : 3\).
Точно так же плоскость \(ACD\) пересекает секущую плоскость по прямой, проходящей через точку \(F\) стороны \(AC\) параллельно прямой \(CD\); эта прямая пересекает сторону \(AD\) в точке \(N\). Из \(AF : AC = 2 : 3\) получаем \(FN = \dfrac{2}{3} \cdot 12 = 8\) (см) и \(AN : AD = 2 : 3\).
Точки \(N\) и \(K\) принадлежат плоскости грани \(ABD\), поэтому секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(NK\). Из \(AN : AD = 2 : 3\) и \(BK : BD = 2 : 3\) получаем \(DN : DA = DK : DB = 1 : 3\), поэтому \(NK \parallel AB\) и \(NK = 18 : 3 = 6\) (см).
Сечение — четырёхугольник \(EFNK\), его периметр равен \(6 + 8 + 6 + 8 = 28\) (см).
Ответ: \(28\) см.
На ребре \(BC\) тетраэдра \(DABC\) отметили точку \(E\) так, что \(BE : EC = 2 : 1\). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \(E\) параллельно прямым \(AB\) и \(CD\). Найдите периметр сечения, если \(AB = 18\) см, \(CD = 12\) см.
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(E \in BC\), \(BE : EC = 2 : 1\)
секущая плоскость проходит через точку \(E\) параллельно прямым \(AB\) и \(CD\)
\(AB = 18\) см
\(CD = 12\) см
Найти: периметр сечения.
Решение:
Прямая \(CD\) имеет с плоскостью \(ABC\) ровно одну общую точку \(C\): если бы общих точек было две, то по аксиоме А4 вся прямая \(CD\) принадлежала бы плоскости \(ABC\) и точка \(D\) лежала бы в плоскости \(ABC\). Секущей плоскости прямая \(CD\) параллельна, поэтому секущая плоскость не совпадает с плоскостью \(ABC\). У них есть общая точка \(E\), значит, по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, проходящей через точку \(E\). Прямая \(CD\) принадлежит плоскостям \(BCD\) и \(ACD\), а секущей плоскости она параллельна, поэтому секущая плоскость не совпадает ни с плоскостью \(BCD\), ни с плоскостью \(ACD\).
Плоскость \(ABC\) проходит через прямую \(AB\), параллельную секущей плоскости, и пересекает секущую плоскость. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(ABC\) по прямой, проходящей через точку \(E\) параллельно прямой \(AB\); эта прямая пересекает сторону \(AC\) треугольника \(ABC\) в точке \(F\).
Поскольку \(BE : EC = 2 : 1\), то \(CE : CB = 1 : 3\). Из \(EF \parallel AB\) следует, что треугольники \(CEF\) и \(CBA\) подобны, поэтому \(\dfrac{EF}{AB} = \dfrac{CE}{CB} = \dfrac{1}{3}\), откуда \(EF = 18 : 3 = 6\) (см), и \(CF : CA = 1 : 3\), то есть \(AF : AC = 2 : 3\).
Плоскость \(BCD\) проходит через прямую \(CD\), параллельную секущей плоскости, и пересекает её: общая точка этих плоскостей — точка \(E\) ребра \(BC\). Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(BCD\) по прямой, проходящей через точку \(E\) параллельно прямой \(CD\); эта прямая пересекает сторону \(BD\) треугольника \(BCD\) в точке \(K\). Треугольники \(BEK\) и \(BCD\) подобны, поэтому \(\dfrac{EK}{CD} = \dfrac{BE}{BC} = \dfrac{2}{3}\), откуда \(EK = 8\) см, и \(BK : BD = 2 : 3\).
Плоскость \(ACD\) проходит через прямую \(CD\), параллельную секущей плоскости, и пересекает её: общая точка этих плоскостей — точка \(F\) стороны \(AC\). Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(ACD\) по прямой, проходящей через точку \(F\) параллельно прямой \(CD\); эта прямая пересекает сторону \(AD\) в точке \(N\). Из \(AF : AC = 2 : 3\) получаем \(FN = \dfrac{2}{3} \cdot 12 = 8\) (см) и \(AN : AD = 2 : 3\).
Точки \(N\) и \(K\) принадлежат плоскости грани \(ABD\), поэтому секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку \(NK\). Из \(AN : AD = 2 : 3\) и \(BK : BD = 2 : 3\) получаем \(DN : DA = DK : DB = 1 : 3\), поэтому \(NK \parallel AB\) и \(NK = 18 : 3 = 6\) (см).
Сечение — четырёхугольник \(EFNK\), его периметр равен \(6 + 8 + 6 + 8 = 28\) (см).
Ответ: \(28\) см.
