Страница 56 номер 5.30, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью, проходящей через середины рёбер \(AB\), \(CD\) и \(AA_1\). Найдите периметр сечения, если \(AB = 10\) см, \(AD = 17\) см, \(AA_1 = 24\) см.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед
\(AB = 10\) см
\(AD = 17\) см
\(AA_1 = 24\) см
\(M\) — середина ребра \(AB\)
\(N\) — середина ребра \(CD\)
\(K\) — середина ребра \(AA_1\)
секущая плоскость проходит через точки \(M\), \(N\) и \(K\)
Найти: периметр сечения.
Решение:
В прямоугольнике \(ABCD\) отрезки \(AM\) и \(DN\) равны (каждый равен \(5\) см) и лежат на параллельных прямых \(AB\) и \(DC\), поэтому четырёхугольник \(AMND\) — параллелограмм, а значит, \(MN \parallel AD\) и \(MN = AD = 17\) см.
Точка \(M\) не принадлежит плоскости \(ADD_1A_1\): иначе по аксиоме А4 этой плоскости принадлежала бы вся прямая \(AM\), то есть прямая \(AB\), а вместе с ней и точка \(B\). Прямая \(MN\) параллельна прямой \(AD\), лежащей в плоскости \(ADD_1A_1\), и этой плоскости не принадлежит, поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(MN \parallel ADD_1A_1\).
Секущая плоскость проходит через прямую \(MN\), параллельную плоскости \(ADD_1A_1\), и пересекает эту плоскость: их общая точка — точка \(K\) ребра \(AA_1\). Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(ADD_1A_1\) по прямой, которая проходит через точку \(K\) параллельно прямой \(MN\), а значит, и параллельно прямой \(AD\).
Проведём в прямоугольнике \(ADD_1A_1\) через точку \(K\) прямую, параллельную прямой \(AD\); она пересекает ребро \(DD_1\) в точке \(L\). Четырёхугольник \(AKLD\) — параллелограмм, так как \(KL \parallel AD\) и \(AK \parallel DL\), поэтому \(KL = AD = 17\) см и \(DL = AK = 12\) см.
Точки \(N\) и \(L\) принадлежат плоскости грани \(DCC_1D_1\), точки \(L\) и \(K\) — плоскости грани \(ADD_1A_1\), точки \(K\) и \(M\) — плоскости грани \(ABB_1A_1\). Значит, сечение — четырёхугольник \(MNLK\).
Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники, поэтому угол \(MAK\) — прямой угол прямоугольника \(ABB_1A_1\).
В прямоугольном треугольнике \(AMK\) катеты равны \(AM = 5\) см и \(AK = 12\) см, поэтому по теореме Пифагора \(MK = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13\) (см). Точно так же в прямоугольном треугольнике \(DNL\) катеты равны \(5\) см и \(12\) см, поэтому \(NL = 13\) см.
Периметр сечения равен \(17 + 13 + 17 + 13 = 60\) (см).
Ответ: \(60\) см.
Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью, проходящей через середины рёбер \(AB\), \(CD\) и \(AA_1\). Найдите периметр сечения, если \(AB = 10\) см, \(AD = 17\) см, \(AA_1 = 24\) см.
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед
\(AB = 10\) см
\(AD = 17\) см
\(AA_1 = 24\) см
\(M\) — середина ребра \(AB\)
\(N\) — середина ребра \(CD\)
\(K\) — середина ребра \(AA_1\)
секущая плоскость проходит через точки \(M\), \(N\) и \(K\)
Найти: периметр сечения.
Решение:
В прямоугольнике \(ABCD\) отрезки \(AM\) и \(DN\) равны (каждый равен \(5\) см) и лежат на параллельных прямых \(AB\) и \(DC\). Значит, четырёхугольник \(AMND\) — параллелограмм, поэтому \(MN \parallel AD\) и \(MN = AD = 17\) см.
Точка \(M\) не принадлежит плоскости \(ADD_1A_1\): иначе по аксиоме А4 этой плоскости принадлежала бы вся прямая \(AM\), то есть прямая \(AB\), а вместе с ней и точка \(B\). Прямая \(MN\) параллельна прямой \(AD\), лежащей в плоскости \(ADD_1A_1\), и этой плоскости не принадлежит, поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(MN \parallel ADD_1A_1\).
Секущая плоскость проходит через прямую \(MN\), параллельную плоскости \(ADD_1A_1\), и пересекает эту плоскость: их общая точка — точка \(K\) ребра \(AA_1\). Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, секущая плоскость пересекает плоскость \(ADD_1A_1\) по прямой, которая проходит через точку \(K\) параллельно прямой \(MN\), а значит, и параллельно прямой \(AD\).
Проведём в прямоугольнике \(ADD_1A_1\) через точку \(K\) прямую, параллельную прямой \(AD\). Она пересекает ребро \(DD_1\) в точке \(L\). Четырёхугольник \(AKLD\) — параллелограмм, так как \(KL \parallel AD\) и \(AK \parallel DL\). Поэтому \(KL = AD = 17\) см и \(DL = AK = 12\) см, то есть точка \(L\) — середина ребра \(DD_1\).
Точки \(N\) и \(L\) принадлежат плоскости грани \(DCC_1D_1\), точки \(L\) и \(K\) — плоскости грани \(ADD_1A_1\), точки \(K\) и \(M\) — плоскости грани \(ABB_1A_1\). Значит, сечение — четырёхугольник \(MNLK\).
Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники, поэтому угол \(MAK\) — прямой угол прямоугольника \(ABB_1A_1\).
В прямоугольном треугольнике \(AMK\) катеты равны \(AM = 5\) см и \(AK = 12\) см, поэтому по теореме Пифагора \(MK = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13\) (см).
Точно так же в прямоугольном треугольнике \(DNL\) катеты равны \(DN = 5\) см и \(DL = 12\) см, поэтому \(NL = 13\) см.
Периметр сечения равен \(17 + 13 + 17 + 13 = 60\) (см).
Ответ: \(60\) см.
