Страница 56 номер 5.29, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Докажите, что если две данные пересекающиеся плоскости пересекают третью плоскость по параллельным прямым, то линия пересечения данных плоскостей параллельна этой третьей плоскости.
Пусть данные пересекающиеся плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекают плоскость \(\gamma\) соответственно по прямым \(a\) и \(b\), причём \(a \parallel b\), и пусть \(\alpha \cap \beta = c\).
Прямая \(c\) отлична от прямой \(a\): если бы прямые \(c\) и \(a\) совпадали, то прямая \(a\) принадлежала бы плоскости \(\beta\) и все её точки были бы общими для плоскостей \(\beta\) и \(\gamma\). Но все общие точки этих плоскостей лежат на прямой \(b\), то есть прямая \(a\) совпала бы с прямой \(b\), чего быть не может, так как \(a \parallel b\). Точно так же прямая \(c\) отлична от прямой \(b\).
Через каждую из двух параллельных прямых \(a\) и \(b\) проведена плоскость — соответственно \(\alpha\) и \(\beta\), — и эти плоскости пересекаются по прямой \(c\), отличной от двух данных, значит, \(c \parallel a\).
Прямая \(c\) не принадлежит плоскости \(\gamma\): иначе все её точки были бы общими для плоскостей \(\alpha\) и \(\gamma\), а все общие точки этих плоскостей лежат на прямой \(a\), и прямая \(c\) совпала бы с прямой \(a\).
Прямая \(c\) не принадлежит плоскости \(\gamma\) и параллельна прямой \(a\), лежащей в этой плоскости, поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(c \parallel \gamma\).
Ответ: линия пересечения данных плоскостей параллельна третьей плоскости.
Докажите, что если две данные пересекающиеся плоскости пересекают третью плоскость по параллельным прямым, то линия пересечения данных плоскостей параллельна этой третьей плоскости.
Пусть данные пересекающиеся плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекают плоскость \(\gamma\) соответственно по прямым \(a\) и \(b\), причём \(a \parallel b\), и пусть \(\alpha \cap \beta = c\).
Прямая \(c\) отлична от прямой \(a\). Действительно, если бы прямые \(c\) и \(a\) совпадали, то прямая \(a\) принадлежала бы плоскости \(\beta\), и тогда все её точки были бы общими для плоскостей \(\beta\) и \(\gamma\). Но все общие точки этих плоскостей лежат на прямой \(b\), то есть прямая \(a\) совпала бы с прямой \(b\), чего быть не может, так как \(a \parallel b\). Точно так же прямая \(c\) отлична от прямой \(b\).
Через каждую из двух параллельных прямых \(a\) и \(b\) проведена плоскость — соответственно \(\alpha\) и \(\beta\), — и эти плоскости пересекаются по прямой \(c\), отличной от двух данных. Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причём эти плоскости пересекаются по прямой, отличной от двух данных, то эта прямая параллельна каждой из двух данных прямых. Значит, \(c \parallel a\).
Прямая \(c\) не принадлежит плоскости \(\gamma\): иначе все её точки были бы общими для плоскостей \(\alpha\) и \(\gamma\), а все общие точки этих плоскостей лежат на прямой \(a\), и прямая \(c\) совпала бы с прямой \(a\), что противоречит доказанному выше.
Прямая \(c\) не принадлежит плоскости \(\gamma\) и параллельна прямой \(a\), лежащей в этой плоскости. По признаку параллельности прямой и плоскости \(c \parallel \gamma\).
Ответ: линия пересечения данных плоскостей параллельна третьей плоскости.
