Страница 52 номер 5.2, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 5.13). Плоскостям каких граней куба параллельно ребро: 1) \(AD\); 2) \(C_1D_1\); 3) \(BB_1\)?
1) Отрезки \(AD\) и \(BC\) — противоположные стороны квадрата \(ABCD\), поэтому \(AD \parallel BC\). Прямая \(BC\) лежит в плоскости грани \(BCC_1B_1\), а прямая \(AD\) этой плоскости не принадлежит: точка \(A\) ей не принадлежит. По признаку параллельности прямой и плоскости \(AD \parallel BCC_1B_1\).
Отрезки \(AD\) и \(A_1D_1\) — противоположные стороны квадрата \(ADD_1A_1\), поэтому \(AD \parallel A_1D_1\). Прямая \(A_1D_1\) лежит в плоскости грани \(A_1B_1C_1D_1\), а прямая \(AD\) этой плоскости не принадлежит, значит, \(AD \parallel A_1B_1C_1D_1\).
Плоскостям остальных граней ребро \(AD\) не параллельно: граням \(ABCD\) и \(ADD_1A_1\) оно принадлежит, а с гранями \(ABB_1A_1\) и \(CDD_1C_1\) имеет общие точки \(A\) и \(D\).
2) Отрезки \(C_1D_1\) и \(CD\) — противоположные стороны квадрата \(CDD_1C_1\), а отрезки \(C_1D_1\) и \(A_1B_1\) — противоположные стороны квадрата \(A_1B_1C_1D_1\), поэтому \(C_1D_1 \parallel CD\) и \(C_1D_1 \parallel A_1B_1\). Прямая \(CD\) лежит в плоскости грани \(ABCD\), прямая \(A_1B_1\) — в плоскости грани \(ABB_1A_1\), а прямая \(C_1D_1\) ни одной из этих плоскостей не принадлежит, поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(C_1D_1 \parallel ABCD\) и \(C_1D_1 \parallel ABB_1A_1\).
Граням \(A_1B_1C_1D_1\) и \(CDD_1C_1\) ребро \(C_1D_1\) принадлежит, а с гранями \(ADD_1A_1\) и \(BCC_1B_1\) имеет общие точки \(D_1\) и \(C_1\).
3) Отрезки \(BB_1\) и \(AA_1\) — противоположные стороны квадрата \(ABB_1A_1\), а отрезки \(BB_1\) и \(CC_1\) — противоположные стороны квадрата \(BCC_1B_1\), поэтому \(BB_1 \parallel AA_1\) и \(BB_1 \parallel CC_1\). Прямая \(AA_1\) лежит в плоскости грани \(ADD_1A_1\), прямая \(CC_1\) — в плоскости грани \(CDD_1C_1\), а прямая \(BB_1\) ни одной из этих плоскостей не принадлежит, поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(BB_1 \parallel ADD_1A_1\) и \(BB_1 \parallel CDD_1C_1\).
Граням \(ABB_1A_1\) и \(BCC_1B_1\) ребро \(BB_1\) принадлежит, а с гранями \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) имеет общие точки \(B\) и \(B_1\).
Ответ: 1) ребро \(AD\) параллельно плоскостям граней \(BCC_1B_1\) и \(A_1B_1C_1D_1\); 2) ребро \(C_1D_1\) параллельно плоскостям граней \(ABCD\) и \(ABB_1A_1\); 3) ребро \(BB_1\) параллельно плоскостям граней \(ADD_1A_1\) и \(CDD_1C_1\).
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 5.13). Плоскостям каких граней куба параллельно ребро: 1) \(AD\); 2) \(C_1D_1\); 3) \(BB_1\)?
1) Отрезки \(AD\) и \(BC\) — противоположные стороны квадрата \(ABCD\), поэтому \(AD \parallel BC\). Прямая \(BC\) лежит в плоскости грани \(BCC_1B_1\), а прямая \(AD\) этой плоскости не принадлежит: точка \(A\) плоскости \(BCC_1B_1\) не принадлежит. По признаку параллельности прямой и плоскости \(AD \parallel BCC_1B_1\).
Отрезки \(AD\) и \(A_1D_1\) — противоположные стороны квадрата \(ADD_1A_1\), поэтому \(AD \parallel A_1D_1\). Прямая \(A_1D_1\) лежит в плоскости грани \(A_1B_1C_1D_1\), а прямая \(AD\) этой плоскости не принадлежит. Значит, \(AD \parallel A_1B_1C_1D_1\).
Плоскостям остальных граней ребро \(AD\) не параллельно: граням \(ABCD\) и \(ADD_1A_1\) оно принадлежит, а с гранями \(ABB_1A_1\) и \(CDD_1C_1\) имеет общие точки \(A\) и \(D\) соответственно.
2) Отрезки \(C_1D_1\) и \(CD\) — противоположные стороны квадрата \(CDD_1C_1\), поэтому \(C_1D_1 \parallel CD\). Прямая \(CD\) лежит в плоскости грани \(ABCD\), а прямая \(C_1D_1\) этой плоскости не принадлежит. По признаку параллельности прямой и плоскости \(C_1D_1 \parallel ABCD\).
Отрезки \(C_1D_1\) и \(A_1B_1\) — противоположные стороны квадрата \(A_1B_1C_1D_1\), поэтому \(C_1D_1 \parallel A_1B_1\). Прямая \(A_1B_1\) лежит в плоскости грани \(ABB_1A_1\), а прямая \(C_1D_1\) этой плоскости не принадлежит. Значит, \(C_1D_1 \parallel ABB_1A_1\).
Граням \(A_1B_1C_1D_1\) и \(CDD_1C_1\) ребро \(C_1D_1\) принадлежит, а с гранями \(ADD_1A_1\) и \(BCC_1B_1\) имеет общие точки \(D_1\) и \(C_1\).
3) Отрезки \(BB_1\) и \(AA_1\) — противоположные стороны квадрата \(ABB_1A_1\), поэтому \(BB_1 \parallel AA_1\). Прямая \(AA_1\) лежит в плоскости грани \(ADD_1A_1\), а прямая \(BB_1\) этой плоскости не принадлежит. По признаку параллельности прямой и плоскости \(BB_1 \parallel ADD_1A_1\).
Отрезки \(BB_1\) и \(CC_1\) — противоположные стороны квадрата \(BCC_1B_1\), поэтому \(BB_1 \parallel CC_1\). Прямая \(CC_1\) лежит в плоскости грани \(CDD_1C_1\), а прямая \(BB_1\) этой плоскости не принадлежит. Значит, \(BB_1 \parallel CDD_1C_1\).
Граням \(ABB_1A_1\) и \(BCC_1B_1\) ребро \(BB_1\) принадлежит, а с гранями \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) имеет общие точки \(B\) и \(B_1\).
Ответ: 1) ребро \(AD\) параллельно плоскостям граней \(BCC_1B_1\) и \(A_1B_1C_1D_1\); 2) ребро \(C_1D_1\) параллельно плоскостям граней \(ABCD\) и \(ABB_1A_1\); 3) ребро \(BB_1\) параллельно плоскостям граней \(ADD_1A_1\) и \(CDD_1C_1\).
