Страница 56 номер 5.28, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Докажите, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Пусть \(a\) и \(b\) — данные скрещивающиеся прямые.
Отметим на прямой \(a\) произвольную точку \(M\). Прямые \(a\) и \(b\) общих точек не имеют: если бы они пересекались, то через них проходила бы плоскость и они не были бы скрещивающимися. Значит, точка \(M\) прямой \(b\) не принадлежит.
Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Проведём через точку \(M\) прямую \(b_1\), параллельную прямой \(b\).
Прямые \(a\) и \(b_1\) различны: если бы они совпадали, то прямая \(a\) была бы параллельна прямой \(b\), а скрещивающиеся прямые не параллельны, ведь они не лежат в одной плоскости. Значит, прямые \(a\) и \(b_1\) пересекаются в точке \(M\).
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна; обозначим через \(\alpha\) плоскость, проходящую через прямые \(a\) и \(b_1\).
Прямая \(b\) не принадлежит плоскости \(\alpha\): иначе прямые \(a\) и \(b\) лежали бы в одной плоскости и не были бы скрещивающимися. Прямая \(b_1\) принадлежит плоскости \(\alpha\) и \(b \parallel b_1\), поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(b \parallel \alpha\). Плоскость, проходящая через прямую \(a\) и параллельная прямой \(b\), построена.
Докажем, что такая плоскость только одна. Предположим, что, кроме плоскости \(\alpha\), есть ещё плоскость \(\alpha_1\), проходящая через прямую \(a\) и параллельная прямой \(b\). Плоскости \(\alpha\) и \(\alpha_1\) различны и обе содержат прямую \(a\), поэтому по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой. Все точки прямой \(a\) — общие точки плоскостей \(\alpha\) и \(\alpha_1\), значит, прямая \(a\) и есть линия их пересечения.
Прямая \(b\) параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей \(\alpha\) и \(\alpha_1\), поэтому она параллельна прямой их пересечения, то есть \(b \parallel a\), чего быть не может: прямые \(a\) и \(b\) скрещивающиеся. Полученное противоречие показывает, что такая плоскость единственна.
Аналогично доказывается, что через прямую \(b\) проходит плоскость, параллельная прямой \(a\), и притом только одна.
Ответ: через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Докажите, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Пусть \(a\) и \(b\) — данные скрещивающиеся прямые.
Отметим на прямой \(a\) произвольную точку \(M\). Прямые \(a\) и \(b\) общих точек не имеют: если бы они пересекались, то через две пересекающиеся прямые проходила бы плоскость и прямые \(a\) и \(b\) не были бы скрещивающимися. Значит, точка \(M\) прямой \(b\) не принадлежит.
Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Проведём через точку \(M\) прямую \(b_1\), параллельную прямой \(b\).
Прямые \(a\) и \(b_1\) различны: если бы они совпадали, то прямая \(a\) была бы параллельна прямой \(b\), а скрещивающиеся прямые не параллельны, ведь они не лежат в одной плоскости. Значит, прямые \(a\) и \(b_1\) пересекаются в точке \(M\).
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна. Обозначим через \(\alpha\) плоскость, проходящую через прямые \(a\) и \(b_1\).
Прямая \(b\) не принадлежит плоскости \(\alpha\): иначе прямые \(a\) и \(b\) лежали бы в одной плоскости и не были бы скрещивающимися. Прямая \(b_1\) принадлежит плоскости \(\alpha\) и \(b \parallel b_1\), поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(b \parallel \alpha\). Плоскость, проходящая через прямую \(a\) и параллельная прямой \(b\), построена.
Докажем, что такая плоскость только одна. Предположим, что, кроме плоскости \(\alpha\), есть ещё плоскость \(\alpha_1\), проходящая через прямую \(a\) и параллельная прямой \(b\). Плоскости \(\alpha\) и \(\alpha_1\) различны и обе содержат прямую \(a\), поэтому по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой. Все точки прямой \(a\) — общие точки плоскостей \(\alpha\) и \(\alpha_1\), значит, прямая \(a\) и есть линия их пересечения.
Прямая \(b\) параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей \(\alpha\) и \(\alpha_1\). Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна прямой их пересечения. Значит, \(b \parallel a\), чего быть не может: прямые \(a\) и \(b\) скрещивающиеся. Полученное противоречие показывает, что плоскость, проходящая через прямую \(a\) и параллельная прямой \(b\), единственна.
Аналогично доказывается, что через прямую \(b\) проходит плоскость, параллельная прямой \(a\), и притом только одна.
Ответ: через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
