Страница 56 номер 5.27, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\). Через точку \(M\), лежащую в плоскости \(\alpha\), проведена прямая \(b\), параллельная прямой \(a\). Докажите, что прямая \(b\) лежит в плоскости \(\alpha\).
Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), поэтому общих точек с этой плоскостью она не имеет. Точка \(M\) принадлежит плоскости \(\alpha\), значит, точка \(M\) прямой \(a\) не принадлежит.
Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость и притом только одна. Проведём через прямую \(a\) и точку \(M\) плоскость \(\beta\).
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны: прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\beta\) и не принадлежит плоскости \(\alpha\). У этих плоскостей есть общая точка \(M\), поэтому по аксиоме А5 они пересекаются по прямой; обозначим её \(c\). Все общие точки плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) лежат на прямой \(c\), поэтому точка \(M\) принадлежит прямой \(c\).
Плоскость \(\beta\) проходит через прямую \(a\), параллельную плоскости \(\alpha\), и пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(c\), поэтому \(c \parallel a\).
Прямые \(b\) и \(c\) проходят через точку \(M\) и параллельны прямой \(a\), а через точку \(M\), не принадлежащую прямой \(a\), проходит прямая, параллельная прямой \(a\), и притом только одна, поэтому прямые \(b\) и \(c\) совпадают. Прямая \(c\) принадлежит плоскости \(\alpha\), значит, и прямая \(b\) принадлежит плоскости \(\alpha\).
Ответ: прямая \(b\) лежит в плоскости \(\alpha\).
Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\). Через точку \(M\), лежащую в плоскости \(\alpha\), проведена прямая \(b\), параллельная прямой \(a\). Докажите, что прямая \(b\) лежит в плоскости \(\alpha\).
Прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), поэтому общих точек с этой плоскостью она не имеет. Точка \(M\) принадлежит плоскости \(\alpha\), значит, точка \(M\) прямой \(a\) не принадлежит.
Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость и притом только одна. Проведём через прямую \(a\) и точку \(M\) плоскость \(\beta\).
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны: прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\beta\) и не принадлежит плоскости \(\alpha\). У этих плоскостей есть общая точка \(M\), поэтому по аксиоме А5 они пересекаются по прямой; обозначим её \(c\). Все общие точки плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) лежат на прямой \(c\), поэтому точка \(M\) принадлежит прямой \(c\).
Плоскость \(\beta\) проходит через прямую \(a\), параллельную плоскости \(\alpha\), и пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(c\). Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Следовательно, \(c \parallel a\).
Через точку \(M\), не принадлежащую прямой \(a\), проходит прямая, параллельная прямой \(a\), и притом только одна. Прямые \(b\) и \(c\) проходят через точку \(M\) и параллельны прямой \(a\), поэтому они совпадают. Прямая \(c\) принадлежит плоскости \(\alpha\), значит, и прямая \(b\) принадлежит плоскости \(\alpha\).
Ответ: прямая \(b\) лежит в плоскости \(\alpha\).
