Страница 55 номер 5.25, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(E\), \(F\), \(M\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(AB\), \(BC\), \(AD\) и \(CD\) тетраэдра \(DABC\). Докажите, что отрезки \(MF\) и \(KE\) пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Отрезок \(EF\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому \(EF \parallel AC\) и \(EF = \dfrac{AC}{2}\). Отрезок \(MK\) — средняя линия треугольника \(ACD\), поэтому \(MK \parallel AC\) и \(MK = \dfrac{AC}{2}\).
Точка \(E\) не принадлежит плоскости \(ACD\): иначе по аксиоме А4 этой плоскости принадлежала бы вся прямая \(AE\), то есть прямая \(AB\), а вместе с ней и точка \(B\), но все четыре вершины тетраэдра в одной плоскости не лежат. Значит, прямые \(EF\) и \(MK\) различны, а так как обе они параллельны прямой \(AC\), то \(EF \parallel MK\).
Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна, поэтому точки \(E\), \(F\), \(K\) и \(M\) лежат в одной плоскости.
В четырёхугольнике \(EFKM\) противолежащие стороны \(EF\) и \(KM\) параллельны и равны (каждая из них равна \(\dfrac{AC}{2}\)), поэтому \(EFKM\) — параллелограмм.
Отрезки \(MF\) и \(KE\) — диагонали параллелограмма \(EFKM\), а диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Ответ: отрезки \(MF\) и \(KE\) — диагонали параллелограмма \(EFKM\), поэтому они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Точки \(E\), \(F\), \(M\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(AB\), \(BC\), \(AD\) и \(CD\) тетраэдра \(DABC\). Докажите, что отрезки \(MF\) и \(KE\) пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Отрезок \(EF\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\), поэтому \(EF\) — средняя линия этого треугольника, а значит, \(EF \parallel AC\) и \(EF = \dfrac{AC}{2}\).
Отрезок \(MK\) соединяет середины сторон \(AD\) и \(CD\) треугольника \(ACD\), поэтому \(MK\) — средняя линия этого треугольника, а значит, \(MK \parallel AC\) и \(MK = \dfrac{AC}{2}\).
Точка \(E\) не принадлежит плоскости \(ACD\): иначе по аксиоме А4 этой плоскости принадлежала бы вся прямая \(AE\), то есть прямая \(AB\), а вместе с ней и точка \(B\), но все четыре вершины тетраэдра в одной плоскости не лежат. Значит, прямые \(EF\) и \(MK\) различны.
Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. Прямые \(EF\) и \(MK\) параллельны прямой \(AC\), следовательно, \(EF \parallel MK\).
Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна, поэтому точки \(E\), \(F\), \(K\) и \(M\) лежат в одной плоскости.
В четырёхугольнике \(EFKM\) противолежащие стороны \(EF\) и \(KM\) параллельны и равны: каждая из них равна \(\dfrac{AC}{2}\). Если в четырёхугольнике две противолежащие стороны параллельны и равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Значит, \(EFKM\) — параллелограмм.
Отрезки \(MF\) и \(KE\) — диагонали параллелограмма \(EFKM\), а диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Ответ: отрезки \(MF\) и \(KE\) — диагонали параллелограмма \(EFKM\), поэтому они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
