Страница 55 номер 5.24, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Прямые \(AB\) и \(CD\) содержат противолежащие стороны параллелограмма \(ABCD\), поэтому \(AB \parallel CD\).

Точка \(M\) не принадлежит плоскости параллелограмма, а прямые \(AB\) и \(CD\) этой плоскости принадлежат, поэтому точка \(M\) не лежит ни на прямой \(AB\), ни на прямой \(CD\). Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость и притом только одна, поэтому плоскости \(AMB\) и \(CMD\) существуют.

Точка \(M\) принадлежит и плоскости \(AMB\), и плоскости \(CMD\). Эти плоскости различны: если бы они совпадали, то точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и \(M\) лежали бы в одной плоскости, а точка \(M\) плоскости параллелограмма не принадлежит. Значит, по аксиоме А5 плоскости \(AMB\) и \(CMD\) пересекаются по прямой; обозначим её \(m\). Все общие точки этих плоскостей лежат на прямой \(m\), поэтому точка \(M\) принадлежит прямой \(m\).

Прямая \(m\) отлична от прямых \(AB\) и \(CD\), так как точка \(M\) этим прямым не принадлежит: они лежат в плоскости параллелограмма.

Через каждую из двух параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) проведена плоскость — соответственно \(AMB\) и \(CMD\), — и эти плоскости пересекаются по прямой \(m\), отличной от двух данных. Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причём эти плоскости пересекаются по прямой, отличной от двух данных, то эта прямая параллельна каждой из двух данных прямых. Следовательно, \(m \parallel AB\) и \(m \parallel CD\).

Проведём через точку \(M\) прямую, параллельную прямой \(AB\).

Эта прямая и есть линия пересечения плоскостей \(AMB\) и \(CMD\).

Ответ: линия пересечения плоскостей \(AMB\) и \(CMD\) — прямая, проходящая через точку \(M\) параллельно прямым \(AB\) и \(CD\).