Страница 55 номер 5.23, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан тетраэдр \(DABC\). Плоскость \(\alpha\) проходит через прямую \(CD\) и параллельна прямой \(AB\). Постройте линию пересечения плоскости \(\alpha\) и плоскости \(ABC\).
Прямая \(CD\) принадлежит плоскости \(\alpha\), поэтому точка \(C\) принадлежит плоскости \(\alpha\); принадлежит она и плоскости \(ABC\).
Плоскости \(\alpha\) и \(ABC\) различны: точка \(D\) принадлежит плоскости \(\alpha\) и не принадлежит плоскости \(ABC\), иначе все четыре вершины тетраэдра лежали бы в одной плоскости. Значит, по аксиоме А5 плоскости \(\alpha\) и \(ABC\) пересекаются по прямой, и эта прямая проходит через точку \(C\).
Плоскость \(ABC\) проходит через прямую \(AB\), параллельную плоскости \(\alpha\), и пересекает плоскость \(\alpha\), поэтому линия пересечения этих плоскостей параллельна прямой \(AB\).
Проведём в плоскости \(ABC\) через точку \(C\) прямую \(c\), параллельную прямой \(AB\).
Через точку \(C\) проходит прямая, параллельная прямой \(AB\), и притом только одна, поэтому прямая \(c\) и есть линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(ABC\).
Ответ: искомая линия пересечения — прямая, проходящая в плоскости \(ABC\) через точку \(C\) параллельно прямой \(AB\).
Дан тетраэдр \(DABC\). Плоскость \(\alpha\) проходит через прямую \(CD\) и параллельна прямой \(AB\). Постройте линию пересечения плоскости \(\alpha\) и плоскости \(ABC\).
Прямая \(CD\) принадлежит плоскости \(\alpha\), поэтому точка \(C\) принадлежит плоскости \(\alpha\). Эта же точка принадлежит плоскости \(ABC\).
Плоскости \(\alpha\) и \(ABC\) различны: точка \(D\) принадлежит плоскости \(\alpha\) и не принадлежит плоскости \(ABC\), иначе все четыре вершины тетраэдра лежали бы в одной плоскости. Значит, по аксиоме А5 плоскости \(\alpha\) и \(ABC\) пересекаются по прямой, и эта прямая проходит через точку \(C\).
Прямая \(AB\) принадлежит плоскости \(ABC\) и параллельна плоскости \(\alpha\), а плоскость \(ABC\) пересекает плоскость \(\alpha\). Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Следовательно, линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(ABC\) параллельна прямой \(AB\).
Проведём в плоскости \(ABC\) через точку \(C\) прямую \(c\), параллельную прямой \(AB\).
Через точку \(C\) проходит прямая, параллельная прямой \(AB\), и притом только одна, поэтому прямая \(c\) и есть линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(ABC\).
Ответ: искомая линия пересечения — прямая, проходящая в плоскости \(ABC\) через точку \(C\) параллельно прямой \(AB\).
