Страница 55 номер 5.22, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб с ребром \(a\)
\(E\) — середина ребра \(AB\), \(F\) — середина ребра \(BC\)
секущая плоскость проходит через точки \(E\) и \(F\) параллельно прямой \(DD_1\)

Найти: периметр сечения.

Решение:

Обозначим секущую плоскость через \(\gamma\).

Точки \(E\) и \(F\) принадлежат плоскости \(ABC\), поэтому отрезок \(EF\) — сторона сечения. Он соединяет середины сторон \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\), то есть является его средней линией, и \(EF = \frac{AC}{2}\). Диагональ квадрата со стороной \(a\) равна \(a\sqrt{2}\), поэтому \(AC = a\sqrt{2}\) и \(EF = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Точка \(B\) не принадлежит плоскости \(\gamma\): точки \(B\), \(E\) и \(F\) не лежат на одной прямой, поэтому в противном случае плоскость \(\gamma\) совпала бы с плоскостью \(ABC\), а эта плоскость пересекает прямую \(DD_1\) в точке \(D\), что противоречит условию \(DD_1 \parallel \gamma\). Значит, и прямая \(BB_1\) не принадлежит плоскости \(\gamma\).

Боковые рёбра куба параллельны, поэтому \(BB_1 \parallel DD_1\). Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, а вторая прямая не принадлежит этой плоскости, то и вторая прямая параллельна данной плоскости. Следовательно, \(BB_1 \parallel \gamma\).

Плоскость \(ABB_1\) проходит через прямую \(BB_1\), параллельную плоскости \(\gamma\), и пересекает плоскость \(\gamma\): точка \(E\) лежит на ребре \(AB\), поэтому она принадлежит обеим плоскостям. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Проведём в грани \(ABB_1A_1\) через точку \(E\) прямую, параллельную ребру \(BB_1\); она пересекает ребро \(A_1B_1\) в точке \(E_1\). Четырёхугольник \(AEE_1A_1\) — параллелограмм, поэтому \(A_1E_1 = AE = \frac{a}{2}\) и \(EE_1 = AA_1 = a\).

Аналогично прямая, проведённая в грани \(BCC_1B_1\) через точку \(F\) параллельно ребру \(BB_1\), пересекает ребро \(B_1C_1\) в точке \(F_1\). Четырёхугольник \(CFF_1C_1\) — параллелограмм, поэтому \(C_1F_1 = CF = \frac{a}{2}\) и \(FF_1 = CC_1 = a\).

Точки \(E_1\) и \(F_1\) принадлежат плоскости \(A_1B_1C_1\), поэтому отрезок \(E_1F_1\) — сторона сечения. Он соединяет середины сторон \(A_1B_1\) и \(B_1C_1\) треугольника \(A_1B_1C_1\), то есть является его средней линией, и \(E_1F_1 = \frac{A_1C_1}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Отрезки \(EF\), \(FF_1\), \(F_1E_1\) и \(E_1E\) образуют замкнутую ломаную, поэтому граней \(ADD_1A_1\) и \(DCC_1D_1\) секущая плоскость не пересекает. Четырёхугольник \(EFF_1E_1\) — искомое сечение.

Прямые \(AC\) и \(A_1C_1\) параллельны как противолежащие стороны параллелограмма \(ACC_1A_1\). Отрезок \(EF\) параллелен прямой \(AC\), отрезок \(E_1F_1\) параллелен прямой \(A_1C_1\), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому \(EF \parallel E_1F_1\). Стороны \(EF\) и \(E_1F_1\) четырёхугольника \(EFF_1E_1\) параллельны и равны, значит, \(EFF_1E_1\) — параллелограмм.

Периметр сечения равен \(EF + FF_1 + F_1E_1 + E_1E = \frac{a\sqrt{2}}{2} + a + \frac{a\sqrt{2}}{2} + a = a\sqrt{2} + 2a = a(2 + \sqrt{2})\).

Ответ: сечение — параллелограмм \(EFF_1E_1\), его периметр равен \(a(2 + \sqrt{2})\).