Страница 55 номер 5.21, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(M\) принадлежит ребру \(AA_1\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\) (рис. 5.23). Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки \(M\) и \(C_1\) и параллельной прямой \(AB\).
Обозначим секущую плоскость через \(\gamma\).
Плоскость \(ABB_1\) проходит через прямую \(AB\), параллельную плоскости \(\gamma\), и имеет с ней общую точку \(M\) — точку ребра \(AA_1\). Прямая пересечения таких плоскостей параллельна данной прямой, поэтому плоскости \(ABB_1\) и \(\gamma\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(M\) параллельно прямой \(AB\).
Проведём в плоскости \(ABB_1\) через точку \(M\) прямую, параллельную прямой \(AB\). Она пересекает ребро \(BB_1\) в точке \(N\). Боковые рёбра призмы параллельны, поэтому \(MA \parallel NB\), а вместе с \(MN \parallel AB\) это означает, что четырёхугольник \(ABNM\) — параллелограмм и \(BN = AM\).
Точки \(M\) и \(C_1\) принадлежат грани \(ACC_1A_1\), а точки \(N\) и \(C_1\) — грани \(BCC_1B_1\), поэтому отрезки \(MC_1\) и \(NC_1\) — стороны сечения. Отрезки \(MN\), \(NC_1\) и \(C_1M\) образуют замкнутую ломаную, поэтому с верхним основанием \(A_1B_1C_1\) секущая плоскость имеет единственную общую точку \(C_1\). Треугольник \(MNC_1\) — искомое сечение.
Ответ: сечение — треугольник \(MNC_1\), где \(N\) — такая точка ребра \(BB_1\), что \(BN = AM\).
Точка \(M\) принадлежит ребру \(AA_1\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\) (рис. 5.23). Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки \(M\) и \(C_1\) и параллельной прямой \(AB\).
Обозначим секущую плоскость через \(\gamma\).
Плоскость \(ABB_1\) проходит через прямую \(AB\), параллельную плоскости \(\gamma\), и пересекает плоскость \(\gamma\): точка \(M\) лежит на ребре \(AA_1\), поэтому она принадлежит обеим плоскостям. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, плоскости \(ABB_1\) и \(\gamma\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(M\) параллельно прямой \(AB\).
Проведём в плоскости \(ABB_1\) через точку \(M\) прямую, параллельную прямой \(AB\). Она пересекает ребро \(BB_1\) в точке \(N\). Боковые рёбра призмы параллельны, поэтому \(MA \parallel NB\), а вместе с \(MN \parallel AB\) это означает, что четырёхугольник \(ABNM\) — параллелограмм и \(BN = AM\).
Точки \(M\) и \(C_1\) принадлежат грани \(ACC_1A_1\), а точки \(N\) и \(C_1\) — грани \(BCC_1B_1\), поэтому отрезки \(MC_1\) и \(NC_1\) — стороны сечения.
Отрезки \(MN\), \(NC_1\) и \(C_1M\) образуют замкнутую ломаную, поэтому с верхним основанием призмы — треугольником \(A_1B_1C_1\) — секущая плоскость имеет единственную общую точку \(C_1\). Треугольник \(MNC_1\) — искомое сечение.
Ответ: сечение — треугольник \(MNC_1\), где \(N\) — такая точка ребра \(BB_1\), что \(BN = AM\).
