Страница 55 номер 5.20, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(E\) — середина ребра \(AD\) тетраэдра \(DABC\) (рис. 5.22). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки \(B\) и \(E\) и параллельной прямой \(AC\). Вычислите периметр сечения, если каждое ребро тетраэдра равно 4 см.
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр, каждое ребро равно 4 см
\(E\) — середина ребра \(AD\)
секущая плоскость проходит через точки \(B\) и \(E\) параллельно прямой \(AC\)
Найти: периметр сечения.
Решение:
Обозначим секущую плоскость через \(\gamma\).
Плоскость \(ACD\) проходит через прямую \(AC\), параллельную плоскости \(\gamma\), и имеет с ней общую точку \(E\) — середину ребра \(AD\). Прямая пересечения таких плоскостей параллельна данной прямой, поэтому плоскости \(ACD\) и \(\gamma\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(E\) параллельно прямой \(AC\).
Проведём в плоскости \(ACD\) через точку \(E\) прямую, параллельную прямой \(AC\). Прямая, проходящая через середину стороны треугольника параллельно другой стороне, пересекает третью сторону в её середине, поэтому она пересекает ребро \(DC\) в его середине — точке \(F\), и отрезок \(EF\) — средняя линия треугольника \(ACD\): \(EF = \frac{AC}{2} = 2\) (см).
Точки \(B\) и \(E\) принадлежат грани \(ABD\), а точки \(B\) и \(F\) — грани \(BCD\), поэтому отрезки \(BE\) и \(BF\) — стороны сечения. Треугольник \(BEF\) — искомое сечение.
Отрезок \(BE\) — медиана равностороннего треугольника \(ABD\) со стороной 4 см, проведённая к стороне \(AD\). Медиана равностороннего треугольника является и его высотой, поэтому из треугольника \(ABE\) по теореме Пифагора \(BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{16 - 4} = 2\sqrt{3}\) (см).
Аналогично отрезок \(BF\) — медиана равностороннего треугольника \(BCD\) со стороной 4 см, поэтому \(BF = 2\sqrt{3}\) см.
Периметр сечения равен \(BE + EF + FB = 2\sqrt{3} + 2 + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} + 2\) (см).
Ответ: сечение — равнобедренный треугольник \(BEF\), его периметр равен \((4\sqrt{3} + 2)\) см.
Точка \(E\) — середина ребра \(AD\) тетраэдра \(DABC\) (рис. 5.22). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки \(B\) и \(E\) и параллельной прямой \(AC\). Вычислите периметр сечения, если каждое ребро тетраэдра равно 4 см.
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр, каждое ребро равно 4 см
\(E\) — середина ребра \(AD\)
секущая плоскость проходит через точки \(B\) и \(E\) параллельно прямой \(AC\)
Найти: периметр сечения.
Решение:
Обозначим секущую плоскость через \(\gamma\).
Плоскость \(ACD\) проходит через прямую \(AC\), параллельную плоскости \(\gamma\), и пересекает плоскость \(\gamma\): точка \(E\) лежит на ребре \(AD\), поэтому она принадлежит обеим плоскостям. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, плоскости \(ACD\) и \(\gamma\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(E\) параллельно прямой \(AC\).
Проведём в плоскости \(ACD\) через точку \(E\) прямую, параллельную прямой \(AC\). Прямая, проходящая через середину стороны треугольника параллельно другой стороне, пересекает третью сторону в её середине, поэтому проведённая прямая пересекает ребро \(DC\) в его середине — точке \(F\). Отрезок \(EF\) — средняя линия треугольника \(ACD\), значит, \(EF = \frac{AC}{2} = 2\) (см).
Точки \(B\) и \(E\) принадлежат грани \(ABD\), а точки \(B\) и \(F\) — грани \(BCD\), поэтому отрезки \(BE\) и \(BF\) — стороны сечения. Отрезки \(BE\), \(EF\) и \(FB\) образуют замкнутую ломаную, поэтому с гранью \(ABC\) секущая плоскость имеет единственную общую точку \(B\). Треугольник \(BEF\) — искомое сечение.
Грань \(ABD\) — равносторонний треугольник со стороной 4 см, а отрезок \(BE\) — его медиана, проведённая к стороне \(AD\). Медиана равностороннего треугольника является и его высотой, поэтому из треугольника \(ABE\) по теореме Пифагора \(BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) (см).
Аналогично отрезок \(BF\) — медиана равностороннего треугольника \(BCD\) со стороной 4 см, поэтому \(BF = 2\sqrt{3}\) см.
Периметр сечения равен \(BE + EF + FB = 2\sqrt{3} + 2 + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} + 2\) (см).
Ответ: сечение — равнобедренный треугольник \(BEF\), его периметр равен \((4\sqrt{3} + 2)\) см.
