Страница 54 номер 5.19, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(M\) — середина ребра \(DC\) тетраэдра \(DABC\) (рис. 5.21). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \(M\) и параллельной прямым \(AD\) и \(BD\). Вычислите площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра равно \(a\).
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр, каждое ребро равно \(a\)
\(M\) — середина ребра \(DC\)
секущая плоскость проходит через точку \(M\) параллельно прямым \(AD\) и \(BD\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Обозначим секущую плоскость через \(\gamma\).
Плоскость \(ACD\) проходит через прямую \(AD\), параллельную плоскости \(\gamma\), и имеет с ней общую точку \(M\) — середину ребра \(DC\). Прямая пересечения таких плоскостей параллельна данной прямой, поэтому плоскости \(ACD\) и \(\gamma\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(M\) параллельно прямой \(AD\).
Проведём в плоскости \(ACD\) через точку \(M\) прямую, параллельную прямой \(AD\). Прямая, проходящая через середину стороны треугольника параллельно другой стороне, пересекает третью сторону в её середине, поэтому она пересекает ребро \(AC\) в его середине — точке \(P\), и отрезок \(MP\) — средняя линия треугольника \(ACD\): \(MP = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2}\).
Аналогично плоскость \(BCD\) проходит через прямую \(BD\), параллельную плоскости \(\gamma\), и имеет с ней общую точку \(M\), а проведённая в плоскости \(BCD\) через точку \(M\) прямая, параллельная прямой \(BD\), пересекает ребро \(BC\) в его середине — точке \(Q\), и отрезок \(MQ\) — средняя линия треугольника \(BCD\): \(MQ = \frac{BD}{2} = \frac{a}{2}\).
Точки \(P\) и \(Q\) принадлежат плоскости \(\gamma\) и плоскости \(ABC\), поэтому отрезок \(PQ\) — сторона сечения. Он соединяет середины сторон \(AC\) и \(BC\) треугольника \(ABC\), то есть является его средней линией, и \(PQ = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}\).
Отрезки \(MP\), \(PQ\) и \(QM\) образуют замкнутую ломаную, поэтому грани \(ABD\) секущая плоскость не пересекает. Треугольник \(MPQ\) — искомое сечение.
Все стороны треугольника \(MPQ\) равны \(\frac{a}{2}\), значит, он равносторонний. Площадь равностороннего треугольника со стороной \(b\) равна \(\frac{b^2\sqrt{3}}{4}\), поэтому
\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2\sqrt{3}}{16}.\]
Ответ: сечение — равносторонний треугольник со стороной \(\frac{a}{2}\), его площадь равна \(\frac{a^2\sqrt{3}}{16}\).
Точка \(M\) — середина ребра \(DC\) тетраэдра \(DABC\) (рис. 5.21). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \(M\) и параллельной прямым \(AD\) и \(BD\). Вычислите площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра равно \(a\).
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр, каждое ребро равно \(a\)
\(M\) — середина ребра \(DC\)
секущая плоскость проходит через точку \(M\) параллельно прямым \(AD\) и \(BD\)
Найти: площадь сечения.
Решение:
Обозначим секущую плоскость через \(\gamma\).
Плоскость \(ACD\) проходит через прямую \(AD\), параллельную плоскости \(\gamma\), и пересекает плоскость \(\gamma\): точка \(M\) лежит на ребре \(DC\), поэтому она принадлежит обеим плоскостям. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, плоскости \(ACD\) и \(\gamma\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(M\) параллельно прямой \(AD\).
Проведём в плоскости \(ACD\) через точку \(M\) прямую, параллельную прямой \(AD\). Прямая, проходящая через середину стороны треугольника параллельно другой стороне, пересекает третью сторону в её середине, поэтому проведённая прямая пересекает ребро \(AC\) в его середине — точке \(P\). Отрезок \(MP\) — средняя линия треугольника \(ACD\), значит, \(MP = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2}\).
Аналогично плоскость \(BCD\) проходит через прямую \(BD\), параллельную плоскости \(\gamma\), и имеет с плоскостью \(\gamma\) общую точку \(M\). Проведём в плоскости \(BCD\) через точку \(M\) прямую, параллельную прямой \(BD\); она пересекает ребро \(BC\) в его середине — точке \(Q\). Отрезок \(MQ\) — средняя линия треугольника \(BCD\), значит, \(MQ = \frac{BD}{2} = \frac{a}{2}\).
Точки \(P\) и \(Q\) принадлежат плоскости \(\gamma\) и плоскости \(ABC\), поэтому отрезок \(PQ\) — сторона сечения. Он соединяет середины сторон \(AC\) и \(BC\) треугольника \(ABC\), то есть является его средней линией, и \(PQ = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}\).
Отрезки \(MP\), \(PQ\) и \(QM\) образуют замкнутую ломаную, поэтому грани \(ABD\) секущая плоскость не пересекает. Треугольник \(MPQ\) — искомое сечение.
Все стороны треугольника \(MPQ\) равны \(\frac{a}{2}\), значит, он равносторонний. Площадь равностороннего треугольника со стороной \(b\) равна \(\frac{b^2\sqrt{3}}{4}\), поэтому
\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{16}.\]
Ответ: сечение — равносторонний треугольник со стороной \(\frac{a}{2}\), его площадь равна \(\frac{a^2\sqrt{3}}{16}\).
