Страница 54 номер 5.18, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На ребре \(A_1B_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили точку \(K\) (рис. 5.20). Постройте линию пересечения плоскостей: 1) \(CC_1K\) и \(ABB_1\); 2) \(CDK\) и \(ABB_1\).
1) Прямые \(CC_1\) и \(BB_1\) — противолежащие стороны параллелограмма \(BCC_1B_1\), поэтому \(CC_1 \parallel BB_1\). Прямая \(BB_1\) лежит в плоскости \(ABB_1\), а прямая \(CC_1\) в этой плоскости не лежит: иначе плоскости \(ABB_1\) и \(BCC_1\) имели бы две различные общие прямые \(BB_1\) и \(CC_1\), тогда как две различные плоскости пересекаются только по одной прямой. По признаку параллельности прямой и плоскости \(CC_1 \parallel ABB_1\).
Плоскость \(CC_1K\) проходит через прямую \(CC_1\), параллельную плоскости \(ABB_1\), и имеет с ней общую точку \(K\) — точку ребра \(A_1B_1\). Прямая пересечения таких плоскостей параллельна данной прямой, поэтому плоскости \(CC_1K\) и \(ABB_1\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(CC_1\).
Проведём в плоскости \(ABB_1\) через точку \(K\) прямую, параллельную прямой \(CC_1\), а значит, и прямой \(AA_1\). Она пересекает ребро \(AB\) в точке \(L\). Прямая \(KL\) — искомая линия пересечения.
2) Прямые \(AB\) и \(CD\) — противолежащие стороны прямоугольника \(ABCD\), поэтому \(CD \parallel AB\). Прямая \(AB\) лежит в плоскости \(ABB_1\), а прямая \(CD\) в этой плоскости не лежит: иначе плоскости \(ABC\) и \(ABB_1\) имели бы две различные общие прямые \(AB\) и \(CD\). По признаку параллельности прямой и плоскости \(CD \parallel ABB_1\).
Плоскость \(CDK\) проходит через прямую \(CD\), параллельную плоскости \(ABB_1\), и имеет с ней общую точку \(K\), поэтому прямая пересечения плоскостей \(CDK\) и \(ABB_1\) проходит через точку \(K\) параллельно прямой \(CD\).
Прямая \(A_1B_1\) лежит в плоскости \(ABB_1\) и проходит через точку \(K\). Она параллельна прямой \(CD\): \(A_1B_1 \parallel AB\) как противолежащие стороны параллелограмма \(ABB_1A_1\), \(AB \parallel CD\), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. Через точку \(K\) проходит только одна прямая, параллельная прямой \(CD\), поэтому искомая линия пересечения — прямая \(A_1B_1\).
Ответ: 1) прямая \(KL\), где \(L\) — точка ребра \(AB\), для которой \(KL \parallel AA_1\); 2) прямая \(A_1B_1\).
На ребре \(A_1B_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили точку \(K\) (рис. 5.20). Постройте линию пересечения плоскостей: 1) \(CC_1K\) и \(ABB_1\); 2) \(CDK\) и \(ABB_1\).
1) Прямые \(CC_1\) и \(BB_1\) — противолежащие стороны параллелограмма \(BCC_1B_1\), поэтому \(CC_1 \parallel BB_1\). Прямая \(BB_1\) лежит в плоскости \(ABB_1\), а прямая \(CC_1\) в этой плоскости не лежит: иначе плоскости \(ABB_1\) и \(BCC_1\) имели бы две различные общие прямые \(BB_1\) и \(CC_1\), тогда как две различные плоскости пересекаются только по одной прямой. По признаку параллельности прямой и плоскости \(CC_1 \parallel ABB_1\).
Плоскость \(CC_1K\) проходит через прямую \(CC_1\), параллельную плоскости \(ABB_1\), и пересекает эту плоскость: точка \(K\) лежит на ребре \(A_1B_1\), поэтому она принадлежит плоскости \(ABB_1\). Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, плоскости \(CC_1K\) и \(ABB_1\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(CC_1\).
Проведём в плоскости \(ABB_1\) через точку \(K\) прямую, параллельную прямой \(CC_1\). Прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) — противолежащие стороны параллелограмма \(ABB_1A_1\), поэтому \(AA_1 \parallel BB_1\). Прямые \(AA_1\) и \(CC_1\) параллельны прямой \(BB_1\), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, значит, \(CC_1 \parallel AA_1\) и проведённая прямая параллельна также сторонам \(AA_1\) и \(BB_1\) параллелограмма \(ABB_1A_1\).
Точка \(K\) — внутренняя точка стороны \(A_1B_1\) этого параллелограмма, а прямая, проходящая через внутреннюю точку стороны параллелограмма параллельно двум другим его сторонам, пересекает противолежащую сторону. Поэтому проведённая прямая пересекает ребро \(AB\) в некоторой точке \(L\). Прямая \(KL\) — искомая линия пересечения.
2) Прямые \(AB\) и \(CD\) — противолежащие стороны прямоугольника \(ABCD\), поэтому \(CD \parallel AB\). Прямая \(AB\) лежит в плоскости \(ABB_1\), а прямая \(CD\) в этой плоскости не лежит: иначе плоскости \(ABC\) и \(ABB_1\) имели бы две различные общие прямые \(AB\) и \(CD\). По признаку параллельности прямой и плоскости \(CD \parallel ABB_1\).
Плоскость \(CDK\) проходит через прямую \(CD\), параллельную плоскости \(ABB_1\), и пересекает эту плоскость: точка \(K\) лежит на ребре \(A_1B_1\), поэтому она принадлежит плоскости \(ABB_1\). Значит, прямая пересечения плоскостей \(CDK\) и \(ABB_1\) проходит через точку \(K\) параллельно прямой \(CD\).
Прямая \(A_1B_1\) лежит в плоскости \(ABB_1\) и проходит через точку \(K\). Она параллельна прямой \(CD\): \(A_1B_1 \parallel AB\) как противолежащие стороны параллелограмма \(ABB_1A_1\), \(AB \parallel CD\), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. Через точку \(K\) проходит только одна прямая, параллельная прямой \(CD\), поэтому искомая линия пересечения — прямая \(A_1B_1\).
Ответ: 1) прямая \(KL\), где \(L\) — точка ребра \(AB\), для которой \(KL \parallel AA_1\); 2) прямая \(A_1B_1\).
