Страница 54 номер 5.17, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На ребре \(CC_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили точку \(M\) (рис. 5.19). Постройте линию пересечения плоскостей: 1) \(ADM\) и \(BB_1C_1\); 2) \(AA_1M\) и \(DCC_1\).
1) Прямые \(AD\) и \(BC\) — противолежащие стороны прямоугольника \(ABCD\), поэтому \(AD \parallel BC\). Прямая \(BC\) лежит в плоскости \(BB_1C_1\), а прямая \(AD\) в этой плоскости не лежит: иначе плоскости \(ABC\) и \(BB_1C_1\) имели бы две различные общие прямые \(AD\) и \(BC\), тогда как две различные плоскости пересекаются только по одной прямой. По признаку параллельности прямой и плоскости \(AD \parallel BB_1C_1\).
Плоскость \(ADM\) проходит через прямую \(AD\), параллельную плоскости \(BB_1C_1\), и имеет с ней общую точку \(M\) — точку ребра \(CC_1\). Прямая пересечения таких плоскостей параллельна данной прямой, поэтому плоскости \(ADM\) и \(BB_1C_1\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(M\) параллельно прямой \(AD\).
Проведём в плоскости \(BB_1C_1\) через точку \(M\) прямую, параллельную прямой \(AD\), а значит, и прямой \(BC\). Она пересекает ребро \(BB_1\) в точке \(N\). Прямая \(MN\) — искомая линия пересечения.
2) Прямые \(AA_1\) и \(DD_1\) — противолежащие стороны параллелограмма \(AA_1D_1D\), поэтому \(AA_1 \parallel DD_1\). Прямая \(DD_1\) лежит в плоскости \(DCC_1\), а прямая \(AA_1\) в этой плоскости не лежит: иначе плоскости \(ADD_1\) и \(DCC_1\) имели бы две различные общие прямые \(AA_1\) и \(DD_1\). По признаку параллельности прямой и плоскости \(AA_1 \parallel DCC_1\).
Плоскость \(AA_1M\) проходит через прямую \(AA_1\), параллельную плоскости \(DCC_1\), и имеет с ней общую точку \(M\), поэтому прямая пересечения плоскостей \(AA_1M\) и \(DCC_1\) проходит через точку \(M\) параллельно прямой \(AA_1\).
Прямая \(CC_1\) лежит в плоскости \(DCC_1\), проходит через точку \(M\) и параллельна прямой \(AA_1\), так как боковые рёбра параллелепипеда параллельны. Через точку \(M\) проходит только одна прямая, параллельная прямой \(AA_1\), поэтому искомая линия пересечения — прямая \(CC_1\).
Ответ: 1) прямая \(MN\), где \(N\) — точка ребра \(BB_1\), для которой \(MN \parallel AD\); 2) прямая \(CC_1\).
На ребре \(CC_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили точку \(M\) (рис. 5.19). Постройте линию пересечения плоскостей: 1) \(ADM\) и \(BB_1C_1\); 2) \(AA_1M\) и \(DCC_1\).
1) Прямые \(AD\) и \(BC\) — противолежащие стороны прямоугольника \(ABCD\), поэтому \(AD \parallel BC\). Прямая \(BC\) лежит в плоскости \(BB_1C_1\), а прямая \(AD\) в этой плоскости не лежит: иначе плоскости \(ABC\) и \(BB_1C_1\) имели бы две различные общие прямые \(AD\) и \(BC\), тогда как две различные плоскости пересекаются только по одной прямой. По признаку параллельности прямой и плоскости \(AD \parallel BB_1C_1\).
Плоскость \(ADM\) проходит через прямую \(AD\), параллельную плоскости \(BB_1C_1\), и пересекает эту плоскость: точка \(M\) лежит на ребре \(CC_1\), поэтому она принадлежит обеим плоскостям. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, плоскости \(ADM\) и \(BB_1C_1\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(M\) параллельно прямой \(AD\).
Проведём в плоскости \(BB_1C_1\) через точку \(M\) прямую, параллельную прямой \(AD\), а значит, и прямой \(BC\). Точка \(M\) — внутренняя точка стороны \(CC_1\) параллелограмма \(BCC_1B_1\), а прямая, проходящая через внутреннюю точку стороны параллелограмма параллельно двум другим его сторонам, пересекает противолежащую сторону. Поэтому проведённая прямая пересекает ребро \(BB_1\) в некоторой точке \(N\). Прямая \(MN\) — искомая линия пересечения.
2) Прямые \(AA_1\) и \(DD_1\) — противолежащие стороны параллелограмма \(AA_1D_1D\), поэтому \(AA_1 \parallel DD_1\). Прямая \(DD_1\) лежит в плоскости \(DCC_1\), а прямая \(AA_1\) в этой плоскости не лежит: иначе плоскости \(ADD_1\) и \(DCC_1\) имели бы две различные общие прямые \(AA_1\) и \(DD_1\). По признаку параллельности прямой и плоскости \(AA_1 \parallel DCC_1\).
Плоскость \(AA_1M\) проходит через прямую \(AA_1\), параллельную плоскости \(DCC_1\), и пересекает эту плоскость: точка \(M\) лежит на ребре \(CC_1\), поэтому она принадлежит плоскости \(DCC_1\). Значит, прямая пересечения плоскостей \(AA_1M\) и \(DCC_1\) проходит через точку \(M\) параллельно прямой \(AA_1\).
Прямая \(CC_1\) лежит в плоскости \(DCC_1\), проходит через точку \(M\) и параллельна прямой \(AA_1\), так как боковые рёбра параллелепипеда параллельны. Через точку \(M\) проходит только одна прямая, параллельная прямой \(AA_1\), поэтому искомая линия пересечения — прямая \(CC_1\).
Ответ: 1) прямая \(MN\), где \(N\) — точка ребра \(BB_1\), для которой \(MN \parallel AD\); 2) прямая \(CC_1\).
