Страница 54 номер 5.16, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(M\) — середина стороны \(AB\) треугольника \(ABC\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точку \(M\) параллельно прямой \(AC\) и пересекает сторону \(BC\) в точке \(K\). Докажите, что точка \(K\) — середина стороны \(BC\). Найдите площадь четырёхугольника \(AMKC\), если площадь треугольника \(ABC\) равна 28 см\(^2\).
Дано:
\(\triangle ABC\)
\(M\) — середина \(AB\)
\(M \in \alpha\), \(AC \parallel \alpha\)
\(\alpha \cap BC = K\)
\(S_{ABC} = 28\) см\(^2\)
Найти: площадь четырёхугольника \(AMKC\).
Решение:
Плоскость \(ABC\) проходит через прямую \(AC\), параллельную плоскости \(\alpha\), и пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(MK\). Прямая пересечения таких плоскостей параллельна данной прямой, поэтому \(MK \parallel AC\).
В треугольнике \(ABC\) прямая \(MK\) проходит через середину стороны \(AB\) параллельно стороне \(AC\), а такая прямая пересекает третью сторону в её середине. Значит, точка \(K\) — середина стороны \(BC\), а отрезок \(MK\) — средняя линия треугольника \(ABC\).
Треугольники \(BMK\) и \(BAC\) подобны: угол \(B\) у них общий и \(\frac{BM}{BA} = \frac{BK}{BC} = \frac{1}{2}\). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому \(S_{BMK} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot 28 = 7\) (см\(^2\)).
Четырёхугольник \(AMKC\) получается из треугольника \(ABC\) удалением треугольника \(BMK\), поэтому \(S_{AMKC} = 28 - 7 = 21\) (см\(^2\)).
Ответ: точка \(K\) — середина стороны \(BC\), площадь четырёхугольника \(AMKC\) равна 21 см\(^2\).
Точка \(M\) — середина стороны \(AB\) треугольника \(ABC\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точку \(M\) параллельно прямой \(AC\) и пересекает сторону \(BC\) в точке \(K\). Докажите, что точка \(K\) — середина стороны \(BC\). Найдите площадь четырёхугольника \(AMKC\), если площадь треугольника \(ABC\) равна 28 см\(^2\).
Дано:
\(\triangle ABC\)
\(M\) — середина \(AB\)
\(M \in \alpha\), \(AC \parallel \alpha\)
\(\alpha \cap BC = K\)
\(S_{ABC} = 28\) см\(^2\)
Найти: площадь четырёхугольника \(AMKC\).
Решение:
Плоскость \(ABC\) проходит через прямую \(AC\), параллельную плоскости \(\alpha\), и пересекает плоскость \(\alpha\): точка \(M\) — их общая точка. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Точки \(M\) и \(K\) принадлежат обеим плоскостям, поэтому линия их пересечения — прямая \(MK\), и \(MK \parallel AC\).
В треугольнике \(ABC\) прямая \(MK\) проходит через середину стороны \(AB\) параллельно стороне \(AC\). Прямая, проходящая через середину стороны треугольника параллельно другой стороне, пересекает третью сторону в её середине. Значит, точка \(K\) — середина стороны \(BC\), а отрезок \(MK\) — средняя линия треугольника \(ABC\).
Треугольники \(BMK\) и \(BAC\) подобны: угол \(B\) у них общий и \(\frac{BM}{BA} = \frac{BK}{BC} = \frac{1}{2}\). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому \(S_{BMK} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot 28 = 7\) (см\(^2\)).
Четырёхугольник \(AMKC\) получается из треугольника \(ABC\) удалением треугольника \(BMK\), поэтому \(S_{AMKC} = S_{ABC} - S_{BMK} = 28 - 7 = 21\) (см\(^2\)).
Ответ: точка \(K\) — середина стороны \(BC\), площадь четырёхугольника \(AMKC\) равна 21 см\(^2\).
