Страница 54 номер 5.15, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Вершины \(A\) и \(C\) треугольника \(ABC\) принадлежат плоскости \(\alpha\), а вершина \(B\) не принадлежит этой плоскости. На сторонах \(AB\) и \(BC\) отмечены соответственно точки \(E\) и \(F\) так, что \(BA : BE = BC : BF\). Докажите, что прямая \(EF\) параллельна плоскости \(\alpha\).
Точки \(A\) и \(C\) принадлежат плоскости \(\alpha\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(\alpha\).
У треугольников \(ABC\) и \(EBF\) угол \(B\) общий, а стороны, заключающие этот угол, пропорциональны: \(BA : BE = BC : BF\) по условию. Значит, \(\triangle ABC \sim \triangle EBF\) по двум сторонам и углу между ними, и \(\angle BAC = \angle BEF\). Эти углы — соответственные при прямых \(AC\) и \(EF\) и секущей \(AB\), поэтому \(EF \parallel AC\).
Прямая \(EF\) не принадлежит плоскости \(\alpha\): через параллельные прямые \(EF\) и \(AC\) проходит плоскость и притом только одна — это плоскость \(ABC\); если бы прямая \(EF\) лежала в плоскости \(\alpha\), то плоскость \(\alpha\) содержала бы обе эти прямые и совпадала бы с плоскостью \(ABC\), а тогда вершина \(B\) принадлежала бы плоскости \(\alpha\), что противоречит условию.
Прямая \(EF\) параллельна прямой \(AC\), лежащей в плоскости \(\alpha\), поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости \(EF \parallel \alpha\).
Ответ: прямая \(EF\) параллельна плоскости \(\alpha\).
Вершины \(A\) и \(C\) треугольника \(ABC\) принадлежат плоскости \(\alpha\), а вершина \(B\) не принадлежит этой плоскости. На сторонах \(AB\) и \(BC\) отмечены соответственно точки \(E\) и \(F\) так, что \(BA : BE = BC : BF\). Докажите, что прямая \(EF\) параллельна плоскости \(\alpha\).
Точки \(A\) и \(C\) принадлежат плоскости \(\alpha\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(\alpha\).
У треугольников \(ABC\) и \(EBF\) угол \(B\) общий, а стороны, заключающие этот угол, пропорциональны: \(BA : BE = BC : BF\) по условию. Значит, \(\triangle ABC \sim \triangle EBF\) по двум сторонам и углу между ними. Из подобия следует, что \(\angle BAC = \angle BEF\).
Углы \(BAC\) и \(BEF\) — соответственные при прямых \(AC\) и \(EF\) и секущей \(AB\). Равенство соответственных углов означает, что \(EF \parallel AC\).
Прямая \(EF\) не принадлежит плоскости \(\alpha\). Действительно, прямые \(EF\) и \(AC\) параллельны, значит, различны, и через них проходит плоскость и притом только одна — это плоскость \(ABC\). Если бы прямая \(EF\) лежала в плоскости \(\alpha\), то плоскость \(\alpha\) содержала бы обе эти прямые и потому совпадала бы с плоскостью \(ABC\); тогда вершина \(B\) принадлежала бы плоскости \(\alpha\), что противоречит условию.
Прямая \(EF\) не принадлежит плоскости \(\alpha\) и параллельна прямой \(AC\), лежащей в этой плоскости. По признаку параллельности прямой и плоскости \(EF \parallel \alpha\).
Ответ: прямая \(EF\) параллельна плоскости \(\alpha\).
