Страница 54 номер 5.14, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Плоскость \(\alpha\), параллельная стороне \(AB\) треугольника \(ABC\), пересекает стороны \(AC\) и \(BC\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Найдите отношение \(AE : EC\), если \(CF : CB = 3 : 11\).
Дано:
\(\triangle ABC\)
\(AB \parallel \alpha\)
\(\alpha \cap AC = E\), \(\alpha \cap BC = F\)
\(CF : CB = 3 : 11\)
Найти: отношение \(AE : EC\).
Решение:
Плоскость \(ABC\) проходит через прямую \(AB\), параллельную плоскости \(\alpha\), и пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(EF\). Прямая пересечения таких плоскостей параллельна данной прямой, поэтому \(EF \parallel AB\).
У треугольников \(CEF\) и \(CAB\) угол \(C\) общий, а \(\angle CEF = \angle CAB\) как соответственные углы при параллельных прямых \(EF\) и \(AB\) и секущей \(AC\). Значит, \(\triangle CEF \sim \triangle CAB\), и
\[\frac{CE}{CA} = \frac{CF}{CB} = \frac{3}{11}.\]
Пусть \(CA = 11x\). Тогда \(CE = 3x\) и \(AE = 11x - 3x = 8x\).
Следовательно, \(AE : EC = 8x : 3x = 8 : 3\).
Ответ: \(AE : EC = 8 : 3\).
Плоскость \(\alpha\), параллельная стороне \(AB\) треугольника \(ABC\), пересекает стороны \(AC\) и \(BC\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Найдите отношение \(AE : EC\), если \(CF : CB = 3 : 11\).
Дано:
\(\triangle ABC\)
\(AB \parallel \alpha\)
\(\alpha \cap AC = E\), \(\alpha \cap BC = F\)
\(CF : CB = 3 : 11\)
Найти: отношение \(AE : EC\).
Решение:
Плоскость \(ABC\) проходит через прямую \(AB\), параллельную плоскости \(\alpha\), и пересекает плоскость \(\alpha\): точка \(E\) — их общая точка. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Точки \(E\) и \(F\) принадлежат обеим плоскостям, поэтому линия их пересечения — прямая \(EF\), и \(EF \parallel AB\).
У треугольников \(CEF\) и \(CAB\) угол \(C\) общий, а \(\angle CEF = \angle CAB\) как соответственные углы при параллельных прямых \(EF\) и \(AB\) и секущей \(AC\). Значит, \(\triangle CEF \sim \triangle CAB\), и
\[\frac{CE}{CA} = \frac{CF}{CB} = \frac{3}{11}.\]
Пусть \(CA = 11x\). Тогда \(CE = 3x\) и \(AE = CA - CE = 11x - 3x = 8x\).
Следовательно, \(AE : EC = 8x : 3x = 8 : 3\).
Ответ: \(AE : EC = 8 : 3\).
