Страница 54 номер 5.13, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Плоскость \(\alpha\), параллельная стороне \(AC\) треугольника \(ABC\), пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(A_1\) и \(C_1\) соответственно (рис. 5.18). Найдите отрезок \(A_1C_1\), если \(AC = 18\) см и \(AA_1 : A_1B = 7 : 5\).
Дано:
\(\triangle ABC\)
\(AC \parallel \alpha\)
\(\alpha \cap AB = A_1\), \(\alpha \cap BC = C_1\)
\(AC = 18\) см
\(AA_1 : A_1B = 7 : 5\)
Найти: отрезок \(A_1C_1\).
Решение:
Плоскость \(ABC\) проходит через прямую \(AC\), параллельную плоскости \(\alpha\), и пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(A_1C_1\). Прямая пересечения таких плоскостей параллельна данной прямой, поэтому \(A_1C_1 \parallel AC\).
У треугольников \(BA_1C_1\) и \(BAC\) угол \(B\) общий, а \(\angle BA_1C_1 = \angle BAC\) как соответственные углы при параллельных прямых \(A_1C_1\) и \(AC\) и секущей \(AB\). Следовательно, \(\triangle BA_1C_1 \sim \triangle BAC\), и
\[\frac{A_1C_1}{AC} = \frac{A_1B}{AB}.\]
Пусть \(AA_1 = 7x\) и \(A_1B = 5x\). Тогда \(AB = 12x\) и \(\frac{A_1B}{AB} = \frac{5x}{12x} = \frac{5}{12}\).
Отсюда \(A_1C_1 = 18 \cdot \frac{5}{12} = 7{,}5\) (см).
Ответ: \(A_1C_1 = 7{,}5\) см.
Плоскость \(\alpha\), параллельная стороне \(AC\) треугольника \(ABC\), пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(A_1\) и \(C_1\) соответственно (рис. 5.18). Найдите отрезок \(A_1C_1\), если \(AC = 18\) см и \(AA_1 : A_1B = 7 : 5\).
Дано:
\(\triangle ABC\)
\(AC \parallel \alpha\)
\(\alpha \cap AB = A_1\), \(\alpha \cap BC = C_1\)
\(AC = 18\) см
\(AA_1 : A_1B = 7 : 5\)
Найти: отрезок \(A_1C_1\).
Решение:
Плоскость \(ABC\) проходит через прямую \(AC\), параллельную плоскости \(\alpha\), и пересекает плоскость \(\alpha\): точка \(A_1\) — их общая точка. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Точки \(A_1\) и \(C_1\) принадлежат обеим плоскостям, поэтому линия их пересечения — прямая \(A_1C_1\), и \(A_1C_1 \parallel AC\).
У треугольников \(BA_1C_1\) и \(BAC\) угол \(B\) общий, а \(\angle BA_1C_1 = \angle BAC\) как соответственные углы при параллельных прямых \(A_1C_1\) и \(AC\) и секущей \(AB\). Следовательно, \(\triangle BA_1C_1 \sim \triangle BAC\), и
\[\frac{A_1C_1}{AC} = \frac{A_1B}{AB}.\]
Пусть \(AA_1 = 7x\) и \(A_1B = 5x\). Тогда \(AB = AA_1 + A_1B = 12x\) и \(\frac{A_1B}{AB} = \frac{5x}{12x} = \frac{5}{12}\).
Отсюда \(A_1C_1 = AC \cdot \frac{5}{12} = 18 \cdot \frac{5}{12} = 7{,}5\) (см).
Ответ: \(A_1C_1 = 7{,}5\) см.
