Страница 54 номер 5.12, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Параллелограммы \(ABCD\) и \(AMKD\) не лежат в одной плоскости (рис. 5.17). Докажите, что четырёхугольник \(BMKC\) — параллелограмм.
Четырёхугольник \(ABCD\) — параллелограмм, поэтому \(BC \parallel AD\) и \(BC = AD\). Четырёхугольник \(AMKD\) — параллелограмм, поэтому \(MK \parallel AD\) и \(MK = AD\).
Прямые \(BC\) и \(MK\) различны: плоскости этих параллелограммов по условию не совпадают, а точки \(A\) и \(D\) принадлежат обеим, поэтому общая прямая у них только одна — прямая \(AD\), а ни \(BC\), ни \(MK\) с прямой \(AD\) не совпадает, так как противолежащие стороны параллелограмма лежат на разных прямых.
Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому \(BC \parallel MK\). Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна, значит, точки \(B\), \(C\), \(M\) и \(K\) лежат в одной плоскости и \(BMKC\) — плоский четырёхугольник.
В четырёхугольнике \(BMKC\) противолежащие стороны \(MK\) и \(CB\) параллельны и равны, так как \(MK = AD\) и \(CB = AD\). Четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны и равны, — параллелограмм.
Ответ: четырёхугольник \(BMKC\) — параллелограмм.
Параллелограммы \(ABCD\) и \(AMKD\) не лежат в одной плоскости (рис. 5.17). Докажите, что четырёхугольник \(BMKC\) — параллелограмм.
Четырёхугольник \(ABCD\) — параллелограмм, поэтому \(BC \parallel AD\) и \(BC = AD\). Четырёхугольник \(AMKD\) — параллелограмм, поэтому \(MK \parallel AD\) и \(MK = AD\).
Прямые \(BC\) и \(MK\) различны. Действительно, плоскость параллелограмма \(ABCD\) и плоскость параллелограмма \(AMKD\) по условию не совпадают, а точки \(A\) и \(D\) принадлежат обеим. По аксиоме А4 прямая \(AD\) принадлежит каждой из этих плоскостей, а по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой. Значит, линия пересечения — прямая \(AD\), и других общих прямых у этих плоскостей нет. Прямая \(BC\) лежит в первой плоскости, прямая \(MK\) — во второй, и ни одна из них с прямой \(AD\) не совпадает, так как противолежащие стороны параллелограмма лежат на разных прямых.
Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. Поскольку \(BC \parallel AD\) и \(MK \parallel AD\), получаем \(BC \parallel MK\).
Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна. Значит, точки \(B\), \(C\), \(M\) и \(K\) лежат в одной плоскости, и \(BMKC\) — плоский четырёхугольник.
Отрезки \(MK\) и \(CB\) — противолежащие стороны четырёхугольника \(BMKC\), причём \(MK \parallel CB\) и \(MK = CB\), так как \(MK = AD\) и \(CB = AD\). Четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны и равны, — параллелограмм.
Ответ: четырёхугольник \(BMKC\) — параллелограмм.
