Страница 47 номер 4.36, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точка \(E\) — середина медианы \(BM\) треугольника \(ABC\). Прямая \(AE\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(K\). Найдите отношение, в котором точка \(K\) делит отрезок \(BC\), считая от вершины \(B\).
Дано:
\(\triangle ABC\)
\(BM\) — медиана
\(E\) — середина отрезка \(BM\)
\(K\) — точка пересечения прямой \(AE\) и стороны \(BC\)
Найти: \(BK : KC\).
Решение: Точка \(M\) — середина стороны \(AC\), так как \(BM\) — медиана треугольника \(ABC\). Точка \(K\) лежит на прямой \(AE\), поэтому прямые \(AK\) и \(AE\) совпадают.
Проведём через точку \(M\) прямую, параллельную прямой \(AK\). Прямая, проходящая через середину стороны \(AC\) треугольника \(AKC\) параллельно его стороне \(AK\), пересекает сторону \(KC\) в её середине. Пусть \(P\) — эта середина, тогда \(KP = PC\).
Точка \(K\) лежит между точками \(B\) и \(P\), поэтому принадлежит стороне \(BP\) треугольника \(BPM\). В этом треугольнике точка \(E\) — середина стороны \(BM\), а прямая \(EK\) — часть прямой \(AK\) — параллельна стороне \(MP\), поэтому \(K\) — середина отрезка \(BP\) и \(BK = KP\).
Значит, \(BK = KP = PC\), откуда \(KC = KP + PC = 2 \cdot BK\) и \(BK : KC = 1 : 2\).
Ответ: \(BK : KC = 1 : 2\).
Точка \(E\) — середина медианы \(BM\) треугольника \(ABC\). Прямая \(AE\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(K\). Найдите отношение, в котором точка \(K\) делит отрезок \(BC\), считая от вершины \(B\).
Дано:
\(\triangle ABC\)
\(BM\) — медиана
\(E\) — середина отрезка \(BM\)
\(K\) — точка пересечения прямой \(AE\) и стороны \(BC\)
Найти: \(BK : KC\).
Решение: Точка \(M\) — середина стороны \(AC\), так как \(BM\) — медиана треугольника \(ABC\). Точка \(K\) лежит на прямой \(AE\), поэтому прямые \(AK\) и \(AE\) совпадают.
Проведём через точку \(M\) прямую, параллельную прямой \(AK\). Прямая, проходящая через середину стороны \(AC\) треугольника \(AKC\) параллельно его стороне \(AK\), пересекает сторону \(KC\) в её середине. Пусть \(P\) — эта середина, тогда \(KP = PC\).
Точка \(K\) лежит между точками \(B\) и \(P\), поэтому \(K\) принадлежит стороне \(BP\) треугольника \(BPM\). В этом треугольнике точка \(E\) — середина стороны \(BM\), а прямая \(EK\) — часть прямой \(AK\) — параллельна стороне \(MP\). Прямая, проходящая через середину одной стороны треугольника параллельно другой его стороне, пересекает третью сторону в её середине, поэтому \(K\) — середина отрезка \(BP\) и \(BK = KP\).
Значит, \(BK = KP = PC\), откуда \(KC = KP + PC = 2 \cdot BK\) и \(BK : KC = 1 : 2\).
Ответ: \(BK : KC = 1 : 2\).
