Страница 47 номер 4.35, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AM\) и \(CK\). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \(MBK\), если \(AC = 4\sqrt{3}\) см и \(\angle ABC = 30^\circ\).
Дано:
\(\triangle ABC\) — остроугольный
\(AM\) и \(CK\) — высоты
\(AC = 4\sqrt{3}\) см
\(\angle ABC = 30^\circ\)
Найти: радиус окружности, описанной около треугольника \(MBK\).
Решение: Треугольник \(ABC\) остроугольный, поэтому основания высот \(M\) и \(K\) лежат на сторонах \(BC\) и \(AB\), значит, \(\angle MBK = \angle ABC = 30^\circ\).
Треугольники \(ABM\) и \(CBK\) прямоугольные с прямыми углами \(AMB\) и \(BKC\), поэтому \(BM = AB \cdot \cos 30^\circ\) и \(BK = BC \cdot \cos 30^\circ\), а значит, \(\dfrac{BM}{BA} = \dfrac{BK}{BC} = \cos 30^\circ\).
Треугольники \(MBK\) и \(ABC\) подобны: угол \(B\) у них общий, а прилежащие к нему стороны пропорциональны. Коэффициент подобия равен \(\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому \(MK = AC \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\) (см).
По теореме синусов для треугольника \(MBK\) радиус \(R\) описанной окружности находим из равенства \(\dfrac{MK}{\sin \angle MBK} = 2R\):
\[R = \frac{MK}{2 \sin 30^\circ} = \frac{6}{2 \cdot 0{,}5} = 6 \text{ (см)}.\]
Ответ: \(6\) см.
В остроугольном треугольнике \(ABC\) проведены высоты \(AM\) и \(CK\). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \(MBK\), если \(AC = 4\sqrt{3}\) см и \(\angle ABC = 30^\circ\).
Дано:
\(\triangle ABC\) — остроугольный
\(AM\) и \(CK\) — высоты
\(AC = 4\sqrt{3}\) см
\(\angle ABC = 30^\circ\)
Найти: радиус окружности, описанной около треугольника \(MBK\).
Решение: Треугольник \(ABC\) остроугольный, поэтому основание \(M\) высоты \(AM\) лежит на стороне \(BC\), а основание \(K\) высоты \(CK\) — на стороне \(AB\). Значит, \(\angle MBK = \angle ABC = 30^\circ\).
Треугольник \(ABM\) прямоугольный с прямым углом \(AMB\), поэтому \(BM = AB \cdot \cos 30^\circ\). Треугольник \(CBK\) прямоугольный с прямым углом \(BKC\), поэтому \(BK = BC \cdot \cos 30^\circ\).
Значит, \(\dfrac{BM}{BA} = \dfrac{BK}{BC} = \cos 30^\circ\).
Треугольники \(MBK\) и \(ABC\) подобны: угол \(B\) у них общий, а прилежащие к нему стороны пропорциональны. Коэффициент подобия равен \(\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому \(MK = AC \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\) (см).
По теореме синусов для треугольника \(MBK\) радиус \(R\) описанной около него окружности находим из равенства \(\dfrac{MK}{\sin \angle MBK} = 2R\):
\[R = \frac{MK}{2 \sin 30^\circ} = \frac{6}{2 \cdot 0{,}5} = 6 \text{ (см)}.\]
Ответ: \(6\) см.
