Страница 47 номер 4.34, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCD\) — параллелограмм
\(A \in \alpha\)
\(BB_1 \parallel CC_1\), \(BB_1 \parallel DD_1\)
\(B_1 \in \alpha\), \(C_1 \in \alpha\), \(D_1 \in \alpha\)
\(DD_1 = 9\) см
\(BB_1 = 26\) см

Найти: отрезок \(CC_1\).

Решение: Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\). Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому точка \(O\) — середина отрезка \(AC\) и середина отрезка \(BD\).

Точка \(O\) не принадлежит прямой \(BB_1\), поэтому через неё проходит прямая, параллельная прямой \(BB_1\), и притом только одна. Прямая \(BB_1\) пересекает плоскость \(\alpha\), а если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая тоже пересекает эту плоскость. Значит, проведённая прямая пересекает плоскость \(\alpha\); обозначим точку пересечения \(O_1\).

Прямые \(OO_1\) и \(DD_1\) параллельны прямой \(BB_1\) и пересекают прямую \(BD\) — в точках \(O\) и \(D\), а сама прямая \(BB_1\) пересекает прямую \(BD\) в точке \(B\). Все параллельные прямые, пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости, поэтому прямые \(BB_1\), \(OO_1\) и \(DD_1\) лежат в одной плоскости; обозначим её \(\beta\).

Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны: прямая \(BB_1\) пересекает плоскость \(\alpha\) и потому этой плоскости не принадлежит. Точки \(B_1\), \(O_1\) и \(D_1\) — общие точки плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\), а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения. Значит, точки \(B_1\), \(O_1\) и \(D_1\) лежат на одной прямой.

Может случиться, что прямая \(CC_1\) проходит через точку \(A\). Тогда она совпадает с прямой \(AC\); эта прямая пересекает плоскость \(\alpha\), то есть имеет с ней только одну общую точку, и такой точкой служит точка \(A\), значит, \(C_1\) — это точка \(A\). Прямая \(AC\) параллельна прямой \(BB_1\) и проходит через точку \(O\), а такая прямая единственная, поэтому и прямая \(OO_1\) — это прямая \(AC\), а \(O_1\) — тоже точка \(A\). Точка \(O\) — середина отрезка \(AC\), поэтому в этом случае \(CC_1 = CA = 2 \cdot OA = 2 \cdot OO_1\).

Пусть дальше прямая \(CC_1\) через точку \(A\) не проходит. Тогда прямые \(OO_1\) и \(CC_1\) различны: иначе прямая \(CC_1\) проходила бы через точки \(O\) и \(C\), то есть совпадала бы с прямой \(AC\).

Точно так же, как прямые \(BB_1\), \(OO_1\) и \(DD_1\), прямые \(OO_1\) и \(CC_1\) параллельны прямой \(BB_1\) и пересекают прямую \(AC\) — в точках \(O\) и \(C\). Поэтому они лежат в одной плоскости; обозначим её \(\gamma\). По аксиоме А4 прямая \(AC\) принадлежит плоскости \(\gamma\), а вместе с ней и точка \(A\).

Прямые \(OO_1\) и \(CC_1\) не пересекаются: если бы у них была общая точка, то через неё проходили бы две различные прямые, параллельные прямой \(BB_1\), чего быть не может. Эти прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются, значит, \(OO_1 \parallel CC_1\).

Плоскости \(\alpha\) и \(\gamma\) различны: прямая \(CC_1\) пересекает плоскость \(\alpha\) и потому этой плоскости не принадлежит. Точки \(A\), \(O_1\) и \(C_1\) — их общие точки, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения. Значит, эти три точки лежат на одной прямой, то есть точка \(O_1\) лежит на прямой \(AC_1\).

Точки \(A\), \(C\) и \(C_1\) не лежат на одной прямой, ведь прямая \(CC_1\) через точку \(A\) не проходит, поэтому \(ACC_1\) — треугольник. В нём точка \(O\) — середина стороны \(AC\), а прямая \(OO_1\) параллельна стороне \(CC_1\) и пересекает прямую \(AC_1\) в точке \(O_1\). Значит, \(OO_1\) — средняя линия треугольника \(ACC_1\), и \(CC_1 = 2 \cdot OO_1\). Это равенство выполняется в обоих случаях.

Возможны два случая: точки \(B\) и \(D\) лежат по одну сторону от плоскости \(\alpha\) или по разные стороны от неё.

Если точки \(B\) и \(D\) лежат по одну сторону от плоскости \(\alpha\), то в плоскости \(\beta\) четырёхугольник \(BB_1D_1D\) — трапеция с основаниями \(BB_1\) и \(DD_1\) (эти отрезки параллельны и не равны). Точка \(O\) — середина боковой стороны \(BD\), а отрезок \(OO_1\) параллелен основаниям, поэтому \(OO_1\) — средняя линия трапеции:

\[OO_1 = \frac{BB_1 + DD_1}{2} = \frac{26 + 9}{2} = 17{,}5 \text{ (см)}.\]

Тогда \(CC_1 = 2 \cdot 17{,}5 = 35\) (см).

Если точки \(B\) и \(D\) лежат по разные стороны от плоскости \(\alpha\), то отрезок \(BD\) пересекает плоскость \(\alpha\) в некоторой точке \(T\). Точка \(T\) лежит на прямой \(BD\), которая принадлежит плоскости \(\beta\), поэтому точка \(T\) — общая точка плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) и лежит на прямой \(B_1D_1\).

Треугольники \(TBB_1\) и \(TDD_1\) подобны: углы \(BTB_1\) и \(DTD_1\) равны как вертикальные, а углы \(TBB_1\) и \(TDD_1\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(BB_1\) и \(DD_1\) и секущей \(BD\). Отсюда

\[\frac{TB}{TD} = \frac{BB_1}{DD_1} = \frac{26}{9}.\]

Пусть \(TD = 9x\) см, тогда \(TB = 26x\) см и \(BD = TB + TD = 35x\) (см). Точка \(O\) — середина отрезка \(BD\), поэтому \(BO = 17{,}5x\) см и \(TO = TB - BO = 26x - 17{,}5x = 8{,}5x\) (см).

Треугольники \(TOO_1\) и \(TBB_1\) подобны: угол \(T\) у них общий, а углы \(TOO_1\) и \(TBB_1\) равны как соответственные при параллельных прямых \(OO_1\) и \(BB_1\) и секущей \(BD\). Отсюда \(\dfrac{OO_1}{BB_1} = \dfrac{TO}{TB} = \dfrac{8{,}5x}{26x}\), то есть \(OO_1 = 26 \cdot \dfrac{8{,}5}{26} = 8{,}5\) (см).

Тогда \(CC_1 = 2 \cdot 8{,}5 = 17\) (см).

Ответ: \(CC_1 = 35\) см или \(CC_1 = 17\) см.