Страница 47 номер 4.33, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рёбрах \(AB\), \(AC\) и \(BB_1\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\) отметили соответственно точки \(M\), \(N\) и \(K\) (рис. 4.24). Постройте прямую, проходящую через точку \(N\) и пересекающую прямые \(CK\) и \(MC_1\).
Точка \(N\) лежит на ребре \(AC\), поэтому прямые \(CN\) и \(AC\) имеют две общие точки — \(C\) и \(N\), а через две точки проходит только одна прямая, значит, прямая \(CN\) совпадает с прямой \(AC\). Точка \(N\) не принадлежит плоскости \(BCC_1\): иначе этой плоскости принадлежала бы прямая \(CN\), то есть прямая \(AC\), и вершина \(A\) оказалась бы в плоскости \(BCC_1\), чего у призмы быть не может. Прямая \(CK\) плоскости \(BCC_1\) принадлежит, значит, точка \(N\) на прямой \(CK\) не лежит, и через прямую \(CK\) и точку \(N\) проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\gamma\).
Точки \(M\) и \(N\) принадлежат плоскости \(ABC\). Если бы точка \(N\) лежала на прямой \(MC_1\), то прямые \(MN\) и \(MC_1\) совпали бы и точка \(C_1\) принадлежала бы плоскости \(ABC\), что неверно. Значит, через прямую \(MC_1\) и точку \(N\) тоже проходит единственная плоскость; обозначим её \(\delta\).
Искомая прямая проходит через точку \(N\) и пересекает прямую \(CK\) в точке, которая тоже принадлежит плоскости \(\gamma\), поэтому по аксиоме А4 вся искомая прямая принадлежит плоскости \(\gamma\); точно так же она принадлежит плоскости \(\delta\). Следовательно, искомая прямая — прямая пересечения плоскостей \(\gamma\) и \(\delta\).
Прямые \(MN\) и \(BC\) лежат в плоскости \(ABC\) и, как видно на рисунке, не параллельны. Пусть \(X\) — точка их пересечения; она лежит на продолжении ребра \(CB\) за точку \(B\). Точка \(X\) лежит на прямой \(MN\), а эта прямая по аксиоме А4 принадлежит плоскости \(\delta\) (точки \(M\) и \(N\) ей принадлежат); кроме того, точка \(X\) лежит на прямой \(BC\), то есть принадлежит плоскости \(BCC_1\). Точка \(C_1\) принадлежит и плоскости \(\delta\), и плоскости \(BCC_1\).
Плоскости \(\delta\) и \(BCC_1\) различны: точка \(N\) плоскости \(\delta\) принадлежит, а плоскости \(BCC_1\) — нет. Общая точка у этих плоскостей есть, поэтому по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой. Точки \(C_1\) и \(X\) — общие и различные (точка \(X\) принадлежит плоскости \(ABC\), а точка \(C_1\) — нет), значит, прямая \(C_1X\) — прямая пересечения плоскостей \(\delta\) и \(BCC_1\).
Прямые \(C_1X\) и \(CK\) лежат в плоскости \(BCC_1\) и различны: если бы точка \(C_1\) лежала на прямой \(CK\), эта прямая совпала бы с прямой \(CC_1\) и точка \(K\) принадлежала бы сразу двум параллельным рёбрам призмы — \(BB_1\) и \(CC_1\). Значит, они либо пересекаются, либо параллельны. Как видно на рисунке, они пересекаются; пусть \(F\) — точка их пересечения.
Точка \(F\) принадлежит плоскости \(\gamma\) (лежит на прямой \(CK\)) и плоскости \(\delta\) (лежит на прямой \(C_1X\)). Точки \(F\) и \(N\) различны: точка \(F\) принадлежит плоскости \(BCC_1\), а точка \(N\) — нет.
Плоскости \(\gamma\) и \(\delta\) различны: точка \(C\) принадлежит плоскости \(\gamma\) и не принадлежит плоскости \(\delta\) — иначе вместе с точкой \(N\) плоскости \(\delta\) принадлежала бы прямая \(AC\), а с ней и точка \(A\), и тогда плоскость \(\delta\) проходила бы через три точки \(A\), \(C\) и \(M\), не лежащие на одной прямой, то есть совпала бы с плоскостью \(ABC\), которой точка \(C_1\) не принадлежит.
Плоскости \(\gamma\) и \(\delta\) имеют общие точки \(N\) и \(F\), поэтому по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой, то есть прямая пересечения — прямая \(NF\).
Прямые \(NF\) и \(MC_1\) лежат в плоскости \(\delta\). Пусть \(E\) — точка их пересечения. Прямая \(NF\) проходит через точку \(N\), пересекает прямую \(CK\) в точке \(F\), а прямую \(MC_1\) — в точке \(E\), то есть она искомая.
Других решений задача не имеет: всякая прямая, проходящая через точку \(N\) и пересекающая прямые \(CK\) и \(MC_1\), принадлежит и плоскости \(\gamma\), и плоскости \(\delta\), то есть совпадает с прямой \(NF\).
Если же прямые \(C_1X\) и \(CK\) окажутся параллельными, точки \(F\) не существует и задача решений не имеет: всякая прямая, проходящая через точку \(N\) и пересекающая прямую \(MC_1\), по аксиоме А4 принадлежит плоскости \(\delta\), поэтому её общая точка с прямой \(CK\) лежала бы и в плоскости \(BCC_1\), то есть на прямой \(C_1X\), а параллельные прямые \(C_1X\) и \(CK\) общих точек не имеют.
Ответ: искомая прямая — прямая \(NF\), где \(X\) — точка пересечения прямых \(MN\) и \(BC\), а \(F\) — точка пересечения прямых \(CK\) и \(C_1X\); если прямые \(CK\) и \(C_1X\) параллельны, задача решений не имеет.
На рёбрах \(AB\), \(AC\) и \(BB_1\) призмы \(ABCA_1B_1C_1\) отметили соответственно точки \(M\), \(N\) и \(K\) (рис. 4.24). Постройте прямую, проходящую через точку \(N\) и пересекающую прямые \(CK\) и \(MC_1\).
Точка \(N\) лежит на ребре \(AC\), поэтому прямые \(CN\) и \(AC\) имеют две общие точки — \(C\) и \(N\). Через две точки проходит только одна прямая, значит, прямая \(CN\) совпадает с прямой \(AC\).
Точка \(N\) не принадлежит плоскости \(BCC_1\): иначе этой плоскости принадлежала бы прямая \(CN\), то есть прямая \(AC\), и вершина \(A\) оказалась бы в плоскости \(BCC_1\), чего у призмы быть не может. Прямая \(CK\) плоскости \(BCC_1\) принадлежит (точка \(K\) лежит на ребре \(BB_1\)), значит, точка \(N\) не лежит на прямой \(CK\), и через прямую \(CK\) и точку \(N\) проходит плоскость и притом только одна. Обозначим её \(\gamma\).
Точки \(M\) и \(N\) принадлежат плоскости \(ABC\). Если бы точка \(N\) лежала на прямой \(MC_1\), то прямые \(MN\) и \(MC_1\) совпали бы и точка \(C_1\) принадлежала бы плоскости \(ABC\), что неверно. Значит, через прямую \(MC_1\) и точку \(N\) тоже проходит единственная плоскость; обозначим её \(\delta\).
Пусть искомая прямая построена. Она проходит через точку \(N\) и пересекает прямую \(CK\) в некоторой точке; обе эти точки принадлежат плоскости \(\gamma\), поэтому по аксиоме А4 вся искомая прямая принадлежит плоскости \(\gamma\). Точно так же она принадлежит плоскости \(\delta\). Следовательно, искомая прямая — прямая пересечения плоскостей \(\gamma\) и \(\delta\).
Прямые \(MN\) и \(BC\) лежат в плоскости \(ABC\) и, как видно на рисунке, не параллельны. Пусть \(X\) — точка их пересечения; она лежит на продолжении ребра \(CB\) за точку \(B\).
Точка \(X\) лежит на прямой \(MN\), а эта прямая по аксиоме А4 принадлежит плоскости \(\delta\) (точки \(M\) и \(N\) ей принадлежат). Кроме того, точка \(X\) лежит на прямой \(BC\), то есть принадлежит плоскости \(BCC_1\). Точка \(C_1\) принадлежит и плоскости \(\delta\), и плоскости \(BCC_1\).
Плоскости \(\delta\) и \(BCC_1\) различны: точка \(N\) плоскости \(\delta\) принадлежит, а плоскости \(BCC_1\) — нет. Общая точка у этих плоскостей есть, поэтому по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой. Точки \(C_1\) и \(X\) — общие и различные: точка \(X\) принадлежит плоскости \(ABC\), а точка \(C_1\) — нет. Через две точки проходит только одна прямая, значит, прямая \(C_1X\) — прямая пересечения плоскостей \(\delta\) и \(BCC_1\).
Прямые \(C_1X\) и \(CK\) лежат в плоскости \(BCC_1\) и различны: если бы точка \(C_1\) лежала на прямой \(CK\), эта прямая совпала бы с прямой \(CC_1\) и точка \(K\) принадлежала бы сразу двум параллельным рёбрам призмы — \(BB_1\) и \(CC_1\). Значит, прямые \(C_1X\) и \(CK\) либо пересекаются, либо параллельны. Как видно на рисунке, они пересекаются; пусть \(F\) — точка их пересечения.
Точка \(F\) лежит на прямой \(CK\), поэтому принадлежит плоскости \(\gamma\), и лежит на прямой \(C_1X\), поэтому принадлежит плоскости \(\delta\). Точки \(F\) и \(N\) различны: точка \(F\) принадлежит плоскости \(BCC_1\), а точка \(N\) — нет.
Плоскости \(\gamma\) и \(\delta\) различны: точка \(C\) принадлежит плоскости \(\gamma\) и не принадлежит плоскости \(\delta\). Действительно, если бы точка \(C\) принадлежала плоскости \(\delta\), то вместе с точкой \(N\) этой плоскости принадлежала бы прямая \(AC\), а с ней и точка \(A\); тогда плоскость \(\delta\) проходила бы через три точки \(A\), \(C\) и \(M\), не лежащие на одной прямой, и совпала бы с плоскостью \(ABC\), которой точка \(C_1\) не принадлежит.
Плоскости \(\gamma\) и \(\delta\) имеют общую точку, поэтому по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой. Точки \(N\) и \(F\) — общие, значит, прямая \(NF\) и есть прямая пересечения плоскостей \(\gamma\) и \(\delta\).
Прямые \(NF\) и \(MC_1\) лежат в плоскости \(\delta\). Пусть \(E\) — точка их пересечения. Прямая \(NF\) проходит через точку \(N\), пересекает прямую \(CK\) в точке \(F\), а прямую \(MC_1\) — в точке \(E\), то есть она искомая.
Всякая прямая, которая проходит через точку \(N\) и пересекает прямые \(CK\) и \(MC_1\), принадлежит и плоскости \(\gamma\), и плоскости \(\delta\), то есть совпадает с прямой \(NF\). Других решений задача не имеет.
Если же прямые \(C_1X\) и \(CK\) окажутся параллельными, точки \(F\) не существует и задача решений не имеет. Действительно, всякая прямая, которая проходит через точку \(N\) и пересекает прямую \(MC_1\), по аксиоме А4 принадлежит плоскости \(\delta\); её общая точка с прямой \(CK\) принадлежала бы тогда и плоскости \(\delta\), и плоскости \(BCC_1\), то есть лежала бы на прямой \(C_1X\), а параллельные прямые \(C_1X\) и \(CK\) общих точек не имеют.
Ответ: искомая прямая — прямая \(NF\), где \(X\) — точка пересечения прямых \(MN\) и \(BC\), а \(F\) — точка пересечения прямых \(CK\) и \(C_1X\); если прямые \(CK\) и \(C_1X\) параллельны, задача решений не имеет.
