Страница 46 номер 4.32, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На рёбрах \(AD\), \(BD\) и \(BC\) тетраэдра \(DABC\) отметили соответственно точки \(M\), \(N\) и \(K\). Постройте прямую, проходящую через точку \(K\) и пересекающую прямые \(AN\) и \(CM\).
Точки \(A\) и \(N\) принадлежат плоскости \(ABD\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AN\) принадлежит плоскости \(ABD\). Точка \(K\) этой плоскости не принадлежит: иначе по аксиоме А4 ей принадлежала бы прямая \(BK\), то есть прямая \(BC\), и точка \(C\) оказалась бы в плоскости \(ABD\), чего у тетраэдра быть не может. Значит, точка \(K\) не лежит и на прямой \(AN\), а через прямую \(AN\) и не принадлежащую ей точку \(K\) проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\gamma\).
Точно так же прямая \(CM\) принадлежит плоскости \(ACD\), а точка \(K\) этой плоскости не принадлежит: иначе прямая \(CK\), то есть прямая \(BC\), лежала бы в плоскости \(ACD\) и точка \(B\) оказалась бы в этой плоскости. Через прямую \(CM\) и точку \(K\) тоже проходит единственная плоскость; обозначим её \(\delta\).
Искомая прямая проходит через точку \(K\) и пересекает прямую \(AN\) в точке, которая тоже принадлежит плоскости \(\gamma\), поэтому по аксиоме А4 вся искомая прямая принадлежит плоскости \(\gamma\); точно так же она принадлежит плоскости \(\delta\). Следовательно, искомая прямая — прямая пересечения плоскостей \(\gamma\) и \(\delta\).
Точка \(K\) лежит на ребре \(BC\), поэтому прямые \(CK\) и \(BC\) имеют две общие точки — \(C\) и \(K\), а через две точки проходит только одна прямая, значит, прямая \(CK\) совпадает с прямой \(BC\) и по аксиоме А4 принадлежит плоскости \(\delta\). Тогда точка \(B\) принадлежит плоскости \(\delta\), а вместе с точкой \(M\) — и вся прямая \(BM\).
Прямые \(AN\) и \(BM\) лежат в плоскости \(ABD\) и пересекаются: точка \(N\) лежит на стороне \(BD\) треугольника \(ABD\) и отлична от точки \(B\), поэтому точки \(A\) и \(N\) лежат по разные стороны от прямой \(BM\). Пусть \(F\) — точка пересечения прямых \(AN\) и \(BM\).
Точка \(F\) принадлежит плоскости \(\gamma\) (лежит на прямой \(AN\)) и плоскости \(\delta\) (лежит на прямой \(BM\)). Точки \(F\) и \(K\) различны: точка \(F\) принадлежит плоскости \(ABD\), а точка \(K\) — нет.
Плоскости \(\gamma\) и \(\delta\) различны: точка \(A\) принадлежит плоскости \(\gamma\), но не принадлежит плоскости \(\delta\) — иначе плоскость \(\delta\) проходила бы через три точки \(A\), \(B\) и \(C\), не лежащие на одной прямой, и совпала бы с плоскостью \(ABC\), которой точка \(M\) не принадлежит.
Плоскости \(\gamma\) и \(\delta\) имеют общие точки \(K\) и \(F\), поэтому по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой, то есть прямая пересечения — прямая \(KF\).
Прямые \(KF\) и \(CM\) лежат в плоскости \(\delta\) и различны: прямая \(CM\) принадлежит плоскости \(ACD\), а точка \(K\) этой плоскости не принадлежит. Значит, они либо пересекаются, либо параллельны. Пусть они пересекаются в точке \(E\). Тогда прямая \(KF\) проходит через точку \(K\) и пересекает прямую \(AN\) в точке \(F\), а прямую \(CM\) — в точке \(E\), то есть она искомая.
Всякая прямая, которая проходит через точку \(K\) и пересекает прямые \(AN\) и \(CM\), принадлежит и плоскости \(\gamma\), и плоскости \(\delta\), то есть совпадает с прямой \(KF\). Других решений задача не имеет.
Если же прямые \(KF\) и \(CM\) параллельны, то задача не имеет решений: прямая \(KF\) прямую \(CM\) не пересекает, а никакая другая прямая условию не удовлетворяет.
Ответ: искомая прямая — прямая \(KF\), где \(F\) — точка пересечения прямых \(AN\) и \(BM\); если прямые \(KF\) и \(CM\) параллельны, задача решений не имеет.
На рёбрах \(AD\), \(BD\) и \(BC\) тетраэдра \(DABC\) отметили соответственно точки \(M\), \(N\) и \(K\). Постройте прямую, проходящую через точку \(K\) и пересекающую прямые \(AN\) и \(CM\).
Отметим на рёбрах \(AD\), \(BD\) и \(BC\) тетраэдра \(DABC\) точки \(M\), \(N\) и \(K\).
Точки \(A\) и \(N\) принадлежат плоскости \(ABD\) (точка \(N\) лежит на ребре \(BD\)), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AN\) принадлежит плоскости \(ABD\).
Точка \(K\) плоскости \(ABD\) не принадлежит: иначе по аксиоме А4 ей принадлежала бы прямая \(BK\), то есть прямая \(BC\), и точка \(C\) оказалась бы в плоскости \(ABD\), чего у тетраэдра быть не может. Значит, точка \(K\) не лежит и на прямой \(AN\), и через прямую \(AN\) и точку \(K\) проходит плоскость и притом только одна. Обозначим её \(\gamma\).
Точно так же прямая \(CM\) принадлежит плоскости \(ACD\) (точка \(M\) лежит на ребре \(AD\)), а точка \(K\) этой плоскости не принадлежит: иначе прямая \(CK\), то есть прямая \(BC\), лежала бы в плоскости \(ACD\) и точка \(B\) оказалась бы в этой плоскости. Через прямую \(CM\) и точку \(K\) тоже проходит единственная плоскость; обозначим её \(\delta\).
Пусть искомая прямая построена. Она проходит через точку \(K\) и пересекает прямую \(AN\) в некоторой точке; обе эти точки принадлежат плоскости \(\gamma\), поэтому по аксиоме А4 вся искомая прямая принадлежит плоскости \(\gamma\). Точно так же она принадлежит плоскости \(\delta\). Следовательно, искомая прямая — прямая пересечения плоскостей \(\gamma\) и \(\delta\).
Точка \(K\) лежит на ребре \(BC\), поэтому прямые \(CK\) и \(BC\) имеют две общие точки — \(C\) и \(K\). Через две точки проходит только одна прямая, значит, прямая \(CK\) совпадает с прямой \(BC\), и по аксиоме А4 она принадлежит плоскости \(\delta\). Тогда точка \(B\) принадлежит плоскости \(\delta\), а вместе с точкой \(M\) — и вся прямая \(BM\).
Прямые \(AN\) и \(BM\) лежат в плоскости \(ABD\) и пересекаются: точка \(N\) лежит на стороне \(BD\) треугольника \(ABD\) и отлична от точки \(B\), поэтому точки \(A\) и \(N\) лежат по разные стороны от прямой \(BM\). Пусть \(F\) — точка пересечения прямых \(AN\) и \(BM\).
Точка \(F\) лежит на прямой \(AN\), поэтому принадлежит плоскости \(\gamma\), и лежит на прямой \(BM\), поэтому принадлежит плоскости \(\delta\). Точки \(F\) и \(K\) различны: точка \(F\) принадлежит плоскости \(ABD\), а точка \(K\) — нет.
Плоскости \(\gamma\) и \(\delta\) различны: точка \(A\) принадлежит плоскости \(\gamma\), но не принадлежит плоскости \(\delta\). Действительно, если бы точка \(A\) принадлежала плоскости \(\delta\), то эта плоскость проходила бы через три точки \(A\), \(B\) и \(C\), не лежащие на одной прямой, и совпала бы с плоскостью \(ABC\), а точка \(M\) плоскости \(ABC\) не принадлежит.
Плоскости \(\gamma\) и \(\delta\) имеют общую точку, поэтому по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой. Точки \(K\) и \(F\) — общие, значит, прямая \(KF\) и есть прямая пересечения плоскостей \(\gamma\) и \(\delta\).
Прямые \(KF\) и \(CM\) лежат в плоскости \(\delta\) и различны: прямая \(CM\) принадлежит плоскости \(ACD\), а точка \(K\) этой плоскости не принадлежит. Значит, они либо пересекаются, либо параллельны. Пусть сначала прямые \(KF\) и \(CM\) пересекаются; обозначим точку их пересечения \(E\). Тогда прямая \(KF\) проходит через точку \(K\) и пересекает прямую \(AN\) в точке \(F\), а прямую \(CM\) — в точке \(E\), то есть она искомая.
Всякая прямая, которая проходит через точку \(K\) и пересекает прямые \(AN\) и \(CM\), принадлежит и плоскости \(\gamma\), и плоскости \(\delta\), то есть совпадает с прямой \(KF\). Других решений задача не имеет.
Если же прямые \(KF\) и \(CM\) параллельны, то задача не имеет решений: прямая \(KF\) прямую \(CM\) не пересекает, а никакая другая прямая условию не удовлетворяет.
Ответ: искомая прямая — прямая \(KF\), где \(F\) — точка пересечения прямых \(AN\) и \(BM\); если прямые \(KF\) и \(CM\) параллельны, задача решений не имеет.
