Страница 46 номер 4.31, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На грани \(ADD_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили точку \(K\) (рис. 4.23). Постройте точку, в которой прямая, проходящая через точку \(K\) параллельно прямой \(DB\), пересекает плоскость \(ABB_1\).
Как видно на рисунке, точка \(K\) — внутренняя точка грани \(ADD_1A_1\), поэтому она не принадлежит плоскости \(ABC\), а значит, не принадлежит и прямой \(DB\), лежащей в этой плоскости. Через прямую \(DB\) и не принадлежащую ей точку \(K\) проходит плоскость и притом только одна; обозначим её \(\beta\).
Прямая, проходящая через точку \(K\) параллельно прямой \(DB\), по определению параллельных прямых лежит с прямой \(DB\) в одной плоскости, а такая плоскость единственная, поэтому искомая прямая лежит в плоскости \(\beta\).
Точки \(D\) и \(K\) принадлежат и плоскости \(\beta\), и плоскости грани \(ADD_1A_1\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(DK\) принадлежит каждой из этих плоскостей.
Прямые \(AA_1\) и \(DD_1\) параллельны как противоположные стороны квадрата \(ADD_1A_1\), а через точку \(D\) в плоскости этой грани проходит только одна прямая, параллельная прямой \(AA_1\), — прямая \(DD_1\), которой точка \(K\) не принадлежит. Значит, прямая \(DK\) прямой \(AA_1\) не параллельна, а две непараллельные прямые одной плоскости пересекаются. Пусть \(E\) — точка пересечения прямых \(DK\) и \(AA_1\).
Точки \(A\) и \(A_1\) принадлежат плоскости \(ABB_1\), поэтому по аксиоме А4 ей принадлежит и прямая \(AA_1\), а вместе с ней точка \(E\). Кроме того, точка \(E\) лежит на прямой \(DK\), значит, принадлежит плоскости \(\beta\). Точка \(B\) принадлежит плоскости \(ABB_1\) и принадлежит плоскости \(\beta\), так как лежит на прямой \(DB\).
Плоскости \(\beta\) и \(ABB_1\) различны: точка \(D\) принадлежит плоскости \(\beta\), но не принадлежит плоскости \(ABB_1\) — иначе по аксиоме А4 этой плоскости принадлежали бы прямые \(AB\) и \(AD\) и она совпала бы с плоскостью \(ABC\), проходящей через эти две пересекающиеся прямые, а точка \(B_1\) плоскости \(ABC\) не принадлежит.
Плоскости \(\beta\) и \(ABB_1\) имеют две различные общие точки \(B\) и \(E\) (точка \(B\) не лежит на прямой \(AA_1\)), поэтому по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой, то есть прямая пересечения — прямая \(BE\).
В плоскости \(\beta\) выполняются все аксиомы и теоремы планиметрии (аксиома А2). Проведём в плоскости \(\beta\) через точку \(K\) прямую, параллельную прямой \(DB\). Она пересекает прямую \(BE\): если бы эти прямые были параллельны, то через точку \(B\) проходили бы две различные прямые, параллельные одной и той же прямой, — прямые \(DB\) и \(BE\), что невозможно. Пусть \(X\) — точка пересечения проведённой прямой и прямой \(BE\).
Точка \(X\) лежит на прямой \(BE\), принадлежащей плоскости \(ABB_1\), поэтому она — общая точка плоскости \(ABB_1\) и прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(DB\), то есть искомая точка.
Ответ: искомая точка — точка \(X\) пересечения прямой \(BE\) с прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(DB\); здесь \(E\) — точка пересечения прямых \(DK\) и \(AA_1\).
На грани \(ADD_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили точку \(K\) (рис. 4.23). Постройте точку, в которой прямая, проходящая через точку \(K\) параллельно прямой \(DB\), пересекает плоскость \(ABB_1\).
Как видно на рисунке, точка \(K\) — внутренняя точка грани \(ADD_1A_1\), поэтому она не принадлежит плоскости \(ABC\). Прямая \(DB\) плоскости \(ABC\) принадлежит, значит, точка \(K\) не принадлежит прямой \(DB\).
Через прямую \(DB\) и не принадлежащую ей точку \(K\) проходит плоскость и притом только одна. Обозначим её \(\beta\).
Прямая, проходящая через точку \(K\) параллельно прямой \(DB\), лежит с прямой \(DB\) в одной плоскости — это часть определения параллельных прямых. Такая плоскость единственная, поэтому искомая прямая лежит в плоскости \(\beta\), и всё построение проводится в этой плоскости.
Точки \(D\) и \(K\) принадлежат и плоскости \(\beta\), и плоскости грани \(ADD_1A_1\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(DK\) принадлежит каждой из этих плоскостей.
Прямые \(AA_1\) и \(DD_1\) параллельны — это противоположные стороны квадрата \(ADD_1A_1\). Через точку \(D\) в плоскости этой грани проходит только одна прямая, параллельная прямой \(AA_1\), и это прямая \(DD_1\), а точка \(K\) ей не принадлежит. Значит, прямая \(DK\) прямой \(AA_1\) не параллельна. Две непараллельные прямые одной плоскости пересекаются; пусть \(E\) — точка пересечения прямых \(DK\) и \(AA_1\).
Точка \(E\) лежит на прямой \(AA_1\), а эта прямая принадлежит плоскости \(ABB_1\): грань \(ABB_1A_1\) — квадрат, все его вершины лежат в одной плоскости, поэтому точки \(A\) и \(A_1\) принадлежат плоскости \(ABB_1\), а вместе с ними по аксиоме А4 и вся прямая \(AA_1\). Кроме того, точка \(E\) лежит на прямой \(DK\), а значит, принадлежит плоскости \(\beta\).
Точка \(B\) принадлежит плоскости \(ABB_1\) и принадлежит плоскости \(\beta\), так как лежит на прямой \(DB\).
Плоскости \(\beta\) и \(ABB_1\) различны: точка \(D\) принадлежит плоскости \(\beta\), но не принадлежит плоскости \(ABB_1\). Действительно, если бы точка \(D\) принадлежала плоскости \(ABB_1\), то по аксиоме А4 этой плоскости принадлежали бы прямые \(AB\) и \(AD\), и она совпала бы с плоскостью \(ABC\), проходящей через эти две пересекающиеся прямые, — но точка \(B_1\) плоскости \(ABC\) не принадлежит.
Плоскости \(\beta\) и \(ABB_1\) имеют общую точку, поэтому по аксиоме А5 они пересекаются по прямой, и все их общие точки лежат на этой прямой. Точки \(B\) и \(E\) — общие и различные (точка \(B\) не лежит на прямой \(AA_1\)), а через две точки проходит только одна прямая. Значит, прямая \(BE\) — прямая пересечения плоскостей \(\beta\) и \(ABB_1\).
В плоскости \(\beta\) выполняются все аксиомы и теоремы планиметрии (аксиома А2). Проведём в плоскости \(\beta\) через точку \(K\) прямую, параллельную прямой \(DB\). Она пересекает прямую \(BE\): если бы эти прямые были параллельны, то через точку \(B\) проходили бы две различные прямые, параллельные одной и той же прямой, — прямые \(DB\) и \(BE\), что в плоскости \(\beta\) невозможно. Пусть \(X\) — точка пересечения проведённой прямой и прямой \(BE\).
Точка \(X\) лежит на прямой \(BE\), а прямая \(BE\) принадлежит плоскости \(ABB_1\). Следовательно, точка \(X\) — общая точка плоскости \(ABB_1\) и прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(DB\), то есть она и есть искомая точка.
Ответ: искомая точка — точка \(X\) пересечения прямой \(BE\) с прямой, проходящей через точку \(K\) параллельно прямой \(DB\); здесь \(E\) — точка пересечения прямых \(DK\) и \(AA_1\).
