Страница 46 номер 4.30, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На грани \(ADC\) тетраэдра \(DABC\) отметили точку \(M\) (рис. 4.22). Постройте точку, в которой прямая, проходящая через точку \(M\) параллельно прямой \(BD\), пересекает плоскость \(ABC\).
Прямая \(BD\) пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(B\), а если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая её пересекает, поэтому искомая точка существует.
Точка \(B\) не принадлежит плоскости \(ADC\), поэтому прямая \(BD\) имеет с этой плоскостью единственную общую точку \(D\). Как видно на рисунке, точка \(M\) лежит внутри грани \(ADC\), значит, \(M \ne D\) и точка \(M\) прямой \(BD\) не принадлежит.
Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость и притом только одна, поэтому прямая \(BD\) и точка \(M\) задают плоскость; обозначим её \(\beta\). По аксиоме А2 в плоскости \(\beta\) выполняются все аксиомы планиметрии, поэтому в ней через точку \(M\) проходит прямая, параллельная прямой \(BD\). Через точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна, поэтому искомая прямая — это и есть построенная в плоскости \(\beta\) прямая.
Точки \(D\) и \(M\) принадлежат плоскости \(\beta\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(DM\) принадлежит плоскости \(\beta\). Эти же точки принадлежат плоскости \(ADC\), а точка \(M\) лежит внутри треугольника \(ADC\), поэтому луч \(DM\) пересекает сторону \(AC\); обозначим точку пересечения \(P\).
Плоскости \(\beta\) и \(ABC\) различны: точка \(D\) принадлежит плоскости \(\beta\) и не принадлежит плоскости \(ABC\). Точка \(B\) принадлежит обеим этим плоскостям; точка \(P\) принадлежит прямой \(DM\), а значит, плоскости \(\beta\), и прямой \(AC\), а значит, плоскости \(ABC\); точки \(B\) и \(P\) различны, так как точка \(B\) прямой \(AC\) не принадлежит. Все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, а через две точки проходит только одна прямая, поэтому плоскости \(\beta\) и \(ABC\) пересекаются по прямой \(BP\).
Искомая прямая и прямая \(BP\) лежат в плоскости \(\beta\), а прямая \(BD\) пересекает прямую \(BP\) в точке \(B\). Из планиметрии известно, что если одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую, то и другая её пересекает, поэтому искомая прямая пересекает прямую \(BP\); обозначим точку их пересечения \(K\).
Точка \(K\) принадлежит прямой \(BP\), лежащей в плоскости \(ABC\), поэтому \(K \in ABC\).
Ответ: искомая точка — точка \(K\), в которой проведённая через точку \(M\) прямая, параллельная прямой \(BD\), пересекает прямую \(BP\); здесь \(P\) — точка пересечения прямой \(DM\) с ребром \(AC\).
На грани \(ADC\) тетраэдра \(DABC\) отметили точку \(M\) (рис. 4.22). Постройте точку, в которой прямая, проходящая через точку \(M\) параллельно прямой \(BD\), пересекает плоскость \(ABC\).
Прямая \(BD\) пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(B\). Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая тоже пересекает эту плоскость, поэтому искомая точка существует.
Точка \(B\) не принадлежит плоскости \(ADC\), поэтому прямая \(BD\) имеет с этой плоскостью единственную общую точку \(D\). Как видно на рисунке, точка \(M\) лежит внутри грани \(ADC\), значит, \(M \ne D\) и точка \(M\) прямой \(BD\) не принадлежит.
Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость и притом только одна, поэтому прямая \(BD\) и точка \(M\) задают плоскость; обозначим её \(\beta\). По аксиоме А2 в плоскости \(\beta\) выполняются все аксиомы планиметрии, поэтому в ней через точку \(M\) проходит прямая, параллельная прямой \(BD\). Через точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна, поэтому искомая прямая — это и есть построенная в плоскости \(\beta\) прямая.
Точки \(D\) и \(M\) принадлежат плоскости \(\beta\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(DM\) принадлежит плоскости \(\beta\). Эти же точки принадлежат плоскости \(ADC\), а точка \(M\) лежит внутри треугольника \(ADC\), поэтому луч \(DM\) пересекает сторону \(AC\); обозначим точку пересечения \(P\).
Плоскости \(\beta\) и \(ABC\) различны: точка \(D\) принадлежит плоскости \(\beta\) и не принадлежит плоскости \(ABC\). Точка \(B\) принадлежит обеим этим плоскостям. Точка \(P\) принадлежит прямой \(DM\), а значит, плоскости \(\beta\); она принадлежит прямой \(AC\), а значит, плоскости \(ABC\). Точки \(B\) и \(P\) различны, так как точка \(P\) принадлежит прямой \(AC\), а точка \(B\) ей не принадлежит.
Все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, а через две точки проходит только одна прямая, поэтому плоскости \(\beta\) и \(ABC\) пересекаются по прямой \(BP\).
Искомая прямая и прямая \(BP\) лежат в плоскости \(\beta\). Прямая \(BD\) пересекает прямую \(BP\) в точке \(B\), а из планиметрии известно, что если одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую, то и другая прямая пересекает эту прямую. Поэтому искомая прямая пересекает прямую \(BP\); обозначим точку их пересечения \(K\).
Точка \(K\) принадлежит прямой \(BP\), а прямая \(BP\) принадлежит плоскости \(ABC\), поэтому \(K \in ABC\).
Ответ: искомая точка — точка \(K\), в которой проведённая через точку \(M\) прямая, параллельная прямой \(BD\), пересекает прямую \(BP\); здесь \(P\) — точка пересечения прямой \(DM\) с ребром \(AC\).
