Страница 46 номер 4.29, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямая \(a\), принадлежащая плоскости \(\alpha\), параллельна прямой \(m\) — линии пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) (рис. 4.21). Точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(\beta\). Существуют ли на прямой \(a\) такие точки \(C\) и \(D\), что \(AC \parallel BD\)?
Точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(\beta\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AB\) лежит в плоскости \(\beta\); в ней лежит и прямая \(m\). Как видно на рисунке, точки \(A\) и \(B\) не принадлежат прямой \(m\), а прямые \(AB\) и \(m\) пересекаются; обозначим точку их пересечения \(Y\).
Предположим, что на прямой \(a\) нашлись такие точки \(C\) и \(D\), что \(AC \parallel BD\).
Точки \(C\) и \(D\) лежат на прямой \(a\), а она принадлежит плоскости \(\alpha\), которой точки \(A\) и \(B\) не принадлежат (все общие точки плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) лежат на прямой \(m\)), поэтому \(C \ne A\) и \(D \ne B\) — прямые \(AC\) и \(BD\) существуют.
Точки \(C\) и \(D\) различны: иначе параллельные прямые \(AC\) и \(BD\) имели бы общую точку.
Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна, поэтому прямые \(AC\) и \(BD\) задают плоскость; обозначим её \(\gamma\). Точки \(C\) и \(D\) принадлежат плоскости \(\gamma\) и прямой \(a\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\gamma\); точно так же ей принадлежит прямая \(AB\).
Плоскости \(\alpha\) и \(\gamma\) различны: точка \(A\) принадлежит плоскости \(\gamma\) и не принадлежит плоскости \(\alpha\) — все общие точки плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) лежат на прямой их пересечения \(m\), а точка \(A\) прямой \(m\) не принадлежит. Прямая \(a\) принадлежит обеим плоскостям, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, следовательно, \(\alpha \cap \gamma = a\).
Точка \(Y\) принадлежит прямой \(AB\), а значит, и плоскости \(\gamma\); она принадлежит прямой \(m\), а значит, и плоскости \(\alpha\). Поэтому \(Y\) — общая точка плоскостей \(\alpha\) и \(\gamma\), то есть \(Y \in a\), и прямые \(a\) и \(m\) имеют общую точку. Но \(a \parallel m\), а параллельные прямые общих точек не имеют, — получили противоречие, значит, предположение неверно.
Ответ: таких точек \(C\) и \(D\) на прямой \(a\) не существует.
Прямая \(a\), принадлежащая плоскости \(\alpha\), параллельна прямой \(m\) — линии пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) (рис. 4.21). Точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(\beta\). Существуют ли на прямой \(a\) такие точки \(C\) и \(D\), что \(AC \parallel BD\)?
Точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(\beta\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AB\) лежит в плоскости \(\beta\); в ней лежит и прямая \(m\). Как видно на рисунке, точки \(A\) и \(B\) не принадлежат прямой \(m\), а прямые \(AB\) и \(m\) пересекаются; обозначим точку их пересечения \(Y\). Все общие точки плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) лежат на прямой их пересечения \(m\), поэтому точки \(A\) и \(B\) не принадлежат и плоскости \(\alpha\).
Предположим, что искомые точки существуют: на прямой \(a\) нашлись такие точки \(C\) и \(D\), что \(AC \parallel BD\).
Точки \(C\) и \(D\) лежат на прямой \(a\), а она принадлежит плоскости \(\alpha\), которой точки \(A\) и \(B\) не принадлежат, поэтому \(C \ne A\) и \(D \ne B\) — прямые \(AC\) и \(BD\) существуют.
Точки \(C\) и \(D\) различны: если бы они совпадали, прямые \(AC\) и \(BD\) имели бы общую точку, а параллельные прямые общих точек не имеют.
Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна, поэтому прямые \(AC\) и \(BD\) задают плоскость; обозначим её \(\gamma\). Точки \(C\) и \(D\) принадлежат плоскости \(\gamma\) и принадлежат прямой \(a\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(a\) принадлежит плоскости \(\gamma\). Точно так же точки \(A\) и \(B\) принадлежат плоскости \(\gamma\), поэтому по аксиоме А4 прямая \(AB\) принадлежит плоскости \(\gamma\).
Точка \(A\) принадлежит плоскости \(\gamma\) и не принадлежит плоскости \(\alpha\), значит, плоскости \(\alpha\) и \(\gamma\) различны.
Все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, а прямая \(a\) принадлежит и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(\gamma\). Следовательно, \(\alpha \cap \gamma = a\).
Точка \(Y\) принадлежит прямой \(AB\), а значит, и плоскости \(\gamma\); она принадлежит прямой \(m\), а значит, и плоскости \(\alpha\). Поэтому \(Y\) — общая точка плоскостей \(\alpha\) и \(\gamma\), и \(Y \in a\).
Тогда точка \(Y\) принадлежит и прямой \(a\), и прямой \(m\), то есть эти прямые имеют общую точку. Но \(a \parallel m\), а параллельные прямые общих точек не имеют, — получили противоречие.
Следовательно, предположение неверно.
Ответ: таких точек \(C\) и \(D\) на прямой \(a\) не существует.
