Страница 46 номер 4.28, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Прямая \(a\) пересекает плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) в точках \(A\) и \(B\) соответственно (рис. 4.20). Прямая \(b\), параллельная прямой \(a\), пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(C\). Постройте точку пересечения прямой \(b\) с плоскостью \(\beta\).
По условию точка \(C\) принадлежит плоскости \(\alpha\), хотя на рисунке и оказалась за линией пересечения плоскостей — в той части плоскости \(\alpha\), которую закрывает изображение плоскости \(\beta\).
Прямые \(a\) и \(b\) параллельны, и прямая \(a\) пересекает плоскость \(\beta\) в точке \(B\); если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая её пересекает, поэтому искомая точка существует.
Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна, поэтому прямые \(a\) и \(b\) задают плоскость; обозначим её \(\gamma\). Точки \(A\) и \(C\) принадлежат плоскости \(\gamma\) (\(A \in a\), \(C \in b\)) и по условию — плоскости \(\alpha\), а плоскости \(\alpha\) и \(\gamma\) различны: прямая \(a\) пересекает \(\alpha\), но принадлежит \(\gamma\). Все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, а через две точки проходит только одна прямая, поэтому плоскости \(\alpha\) и \(\gamma\) пересекаются по прямой \(AC\).
Пусть \(m\) — линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\). Прямые \(AC\) и \(m\) лежат в плоскости \(\alpha\), и, как видно на рисунке, точки \(A\) и \(C\) лежат по разные стороны от прямой \(m\). Значит, прямая \(AC\) пересекает прямую \(m\); обозначим точку их пересечения \(X\).
Точка \(X\) принадлежит прямой \(AC\), а значит, и плоскости \(\gamma\); она принадлежит прямой \(m\), а значит, и плоскости \(\beta\). Точка \(B\) принадлежит обеим этим плоскостям: \(B \in a \subset \gamma\) и по условию \(B \in \beta\). Точки \(B\) и \(X\) различны: точка \(X\) принадлежит плоскости \(\alpha\), а точка \(B\) ей не принадлежит, так как прямая \(a\) пересекает \(\alpha\) в точке \(A\). Плоскости \(\beta\) и \(\gamma\) различны (прямая \(a\) пересекает \(\beta\), но принадлежит \(\gamma\)), поэтому они пересекаются по прямой \(BX\).
Прямые \(b\) и \(BX\) лежат в плоскости \(\gamma\), а прямая \(a\) пересекает прямую \(BX\) в точке \(B\). Из планиметрии известно, что если одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую, то и другая её пересекает, поэтому прямая \(b\) пересекает прямую \(BX\); обозначим точку их пересечения \(D\).
Точка \(D\) принадлежит прямой \(BX\), лежащей в плоскости \(\beta\), поэтому \(D \in \beta\) и \(D\) — точка пересечения прямой \(b\) с плоскостью \(\beta\).
Ответ: искомая точка — точка \(D\) пересечения прямой \(b\) с прямой \(BX\), где \(X\) — точка пересечения прямой \(AC\) с линией пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\).
Прямая \(a\) пересекает плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) в точках \(A\) и \(B\) соответственно (рис. 4.20). Прямая \(b\), параллельная прямой \(a\), пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(C\). Постройте точку пересечения прямой \(b\) с плоскостью \(\beta\).
По условию точка \(C\) принадлежит плоскости \(\alpha\), хотя на рисунке она и оказалась за линией пересечения плоскостей — в той части плоскости \(\alpha\), которую закрывает изображение плоскости \(\beta\).
Прямые \(a\) и \(b\) параллельны, и прямая \(a\) пересекает плоскость \(\beta\) в точке \(B\). Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая тоже пересекает эту плоскость, поэтому искомая точка существует.
Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна, поэтому прямые \(a\) и \(b\) задают плоскость; обозначим её \(\gamma\).
Точки \(A\) и \(C\) принадлежат плоскости \(\gamma\), так как \(A \in a\), \(C \in b\), а прямые \(a\) и \(b\) принадлежат плоскости \(\gamma\). По условию обе эти точки принадлежат и плоскости \(\alpha\). Прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\) и потому ей не принадлежит, а плоскости \(\gamma\) принадлежит, значит, плоскости \(\alpha\) и \(\gamma\) различны. Все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, а через две точки проходит только одна прямая, поэтому плоскости \(\alpha\) и \(\gamma\) пересекаются по прямой \(AC\).
Пусть \(m\) — линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\). Прямые \(AC\) и \(m\) лежат в плоскости \(\alpha\), и, как видно на рисунке, точки \(A\) и \(C\) лежат по разные стороны от прямой \(m\). Значит, прямая \(AC\) пересекает прямую \(m\); обозначим точку их пересечения \(X\).
Точка \(X\) принадлежит прямой \(AC\), а значит, и плоскости \(\gamma\); она принадлежит прямой \(m\), а значит, и плоскости \(\beta\).
Точка \(B\) тоже принадлежит обеим этим плоскостям: \(B \in a \subset \gamma\), и по условию \(B \in \beta\). Точки \(B\) и \(X\) различны: точка \(X\) принадлежит плоскости \(\alpha\), а точка \(B\) ей не принадлежит, потому что прямая \(a\) имеет с плоскостью \(\alpha\) единственную общую точку \(A\), а точки \(A\) и \(B\), как видно на рисунке, различны. Прямая \(a\) пересекает плоскость \(\beta\) и потому ей не принадлежит, а плоскости \(\gamma\) принадлежит, значит, плоскости \(\beta\) и \(\gamma\) различны, и они пересекаются по прямой \(BX\).
Прямые \(b\) и \(BX\) лежат в плоскости \(\gamma\). Прямая \(a\) пересекает прямую \(BX\) в точке \(B\), а из планиметрии известно, что если одна из двух параллельных прямых пересекает данную прямую, то и другая прямая пересекает эту прямую. Поэтому прямая \(b\) пересекает прямую \(BX\); обозначим точку их пересечения \(D\).
Точка \(D\) принадлежит прямой \(BX\), а прямая \(BX\) принадлежит плоскости \(\beta\), поэтому \(D \in \beta\). Следовательно, \(D\) — точка пересечения прямой \(b\) с плоскостью \(\beta\).
Ответ: искомая точка — точка \(D\) пересечения прямой \(b\) с прямой \(BX\), где \(X\) — точка пересечения прямой \(AC\) с линией пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\).
