Страница 45 номер 4.27, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основанием пирамиды \(MABCD\) является квадрат \(ABCD\), сторона которого равна 12 см. Найдите расстояние между точками пересечения медиан граней \(AMD\) и \(DMC\).
Дано:
\(MABCD\) — пирамида
\(ABCD\) — квадрат
\(AB = 12\) см
\(P\) — точка пересечения медиан грани \(AMD\)
\(Q\) — точка пересечения медиан грани \(DMC\)
Найти: отрезок \(PQ\).
Решение: Пусть \(K\) — середина общего ребра \(MD\) граней \(AMD\) и \(DMC\); тогда \(AK\) и \(CK\) — медианы этих граней, поэтому точка \(P\) принадлежит отрезку \(AK\), а точка \(Q\) — отрезку \(CK\).
Точка \(M\) не принадлежит плоскости \(ABC\), поэтому прямая \(MD\) пересекает эту плоскость в точке \(D\), а прямая \(AC\) лежит в ней и точки \(D\) не содержит. По признаку скрещивающихся прямых прямые \(AC\) и \(MD\) скрещиваются, поэтому общих точек не имеют, и из \(K \in MD\) следует \(K \notin AC\): точки \(A\), \(C\) и \(K\) не лежат на одной прямой.
По аксиоме А3 через них проходит плоскость; обозначим её \(\beta\). По аксиоме А4 отрезки \(AK\) и \(CK\), а с ними и точки \(P\) и \(Q\), принадлежат плоскости \(\beta\).
В плоскости \(\beta\) выполняются все аксиомы и теоремы планиметрии (аксиома А2). Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении \(2 : 1\), считая от вершины, поэтому \(KP = \dfrac{1}{3} KA\) и \(KQ = \dfrac{1}{3} KC\).
Треугольники \(KPQ\) и \(KAC\) подобны: угол \(K\) общий, а прилежащие к нему стороны пропорциональны: \(\dfrac{KP}{KA} = \dfrac{KQ}{KC} = \dfrac{1}{3}\). Отсюда \(PQ = \dfrac{1}{3} AC\).
Отрезок \(AC\) — диагональ квадрата \(ABCD\), угол \(B\) которого прямой, поэтому по теореме Пифагора \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 12^2 + 12^2 = 288\) и \(AC = 12\sqrt{2}\) (см).
Значит, \(PQ = \dfrac{1}{3} \cdot 12\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\) (см).
Ответ: \(PQ = 4\sqrt{2}\) см.
Основанием пирамиды \(MABCD\) является квадрат \(ABCD\), сторона которого равна 12 см. Найдите расстояние между точками пересечения медиан граней \(AMD\) и \(DMC\).
Дано:
\(MABCD\) — пирамида
\(ABCD\) — квадрат
\(AB = 12\) см
\(P\) — точка пересечения медиан грани \(AMD\)
\(Q\) — точка пересечения медиан грани \(DMC\)
Найти: отрезок \(PQ\).
Решение: Грани \(AMD\) и \(DMC\) имеют общее ребро \(MD\). Пусть \(K\) — середина ребра \(MD\); тогда \(AK\) — медиана грани \(AMD\), а \(CK\) — медиана грани \(DMC\), поэтому точка \(P\) принадлежит отрезку \(AK\), а точка \(Q\) — отрезку \(CK\).
Точка \(M\) не принадлежит плоскости \(ABC\), поэтому прямая \(MD\) пересекает эту плоскость в точке \(D\). Прямая \(AC\) лежит в плоскости \(ABC\), а точка \(D\) этой прямой не принадлежит, поэтому по признаку скрещивающихся прямых прямые \(AC\) и \(MD\) — скрещивающиеся, а значит, общих точек не имеют. Точка \(K\) принадлежит прямой \(MD\), следовательно, \(K \notin AC\), и точки \(A\), \(C\) и \(K\) не лежат на одной прямой.
По аксиоме А3 через точки \(A\), \(C\) и \(K\) проходит плоскость; обозначим её \(\beta\). По аксиоме А4 отрезки \(AK\) и \(CK\) принадлежат плоскости \(\beta\), а вместе с ними принадлежат ей и точки \(P\) и \(Q\).
В плоскости \(\beta\) выполняются все аксиомы и теоремы планиметрии (аксиома А2). Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении \(2 : 1\), считая от вершины, поэтому \(KP : PA = 1 : 2\) и \(KQ : QC = 1 : 2\), то есть \(KP = \dfrac{1}{3} KA\) и \(KQ = \dfrac{1}{3} KC\).
Треугольники \(KPQ\) и \(KAC\) подобны: угол \(K\) у них общий, а стороны, прилежащие к этому углу, пропорциональны: \(\dfrac{KP}{KA} = \dfrac{KQ}{KC} = \dfrac{1}{3}\).
Из подобия треугольников \(PQ = \dfrac{1}{3} AC\).
Отрезок \(AC\) — диагональ квадрата \(ABCD\). Все стороны квадрата равны, значит, \(BC = AB = 12\) см. Угол \(B\) квадрата прямой, поэтому по теореме Пифагора для треугольника \(ABC\) получаем \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 12^2 + 12^2 = 288\), откуда \(AC = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}\) (см).
Значит, \(PQ = \dfrac{1}{3} \cdot 12\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\) (см).
Ответ: \(PQ = 4\sqrt{2}\) см.
