Страница 45 номер 4.26, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Ребро \(AB\) тетраэдра \(DABC\) равно 6 см. Найдите расстояние между точками пересечения медиан граней \(ADC\) и \(BDC\).
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(AB = 6\) см
\(P\) — точка пересечения медиан грани \(ADC\)
\(Q\) — точка пересечения медиан грани \(BDC\)
Найти: отрезок \(PQ\).
Решение: Пусть \(M\) — середина общего ребра \(DC\) граней \(ADC\) и \(BDC\); тогда \(AM\) и \(BM\) — медианы этих граней, поэтому точка \(P\) принадлежит отрезку \(AM\), а точка \(Q\) — отрезку \(BM\).
Точка \(D\) не принадлежит плоскости \(ABC\), поэтому прямая \(DC\) пересекает эту плоскость в точке \(C\), а прямая \(AB\) лежит в ней и точки \(C\) не содержит. По признаку скрещивающихся прямых прямые \(AB\) и \(DC\) скрещиваются, поэтому общих точек не имеют, и из \(M \in DC\) следует \(M \notin AB\): точки \(A\), \(B\) и \(M\) не лежат на одной прямой.
По аксиоме А3 через них проходит плоскость; обозначим её \(\beta\). По аксиоме А4 отрезки \(AM\) и \(BM\), а с ними и точки \(P\) и \(Q\), принадлежат плоскости \(\beta\).
В плоскости \(\beta\) выполняются все аксиомы и теоремы планиметрии (аксиома А2). Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении \(2 : 1\), считая от вершины, поэтому \(MP = \dfrac{1}{3} MA\) и \(MQ = \dfrac{1}{3} MB\).
Треугольники \(MPQ\) и \(MAB\) подобны: угол \(M\) общий, а прилежащие к нему стороны пропорциональны: \(\dfrac{MP}{MA} = \dfrac{MQ}{MB} = \dfrac{1}{3}\). Отсюда \(PQ = \dfrac{1}{3} AB = \dfrac{1}{3} \cdot 6 = 2\) (см).
Ответ: \(PQ = 2\) см.
Ребро \(AB\) тетраэдра \(DABC\) равно 6 см. Найдите расстояние между точками пересечения медиан граней \(ADC\) и \(BDC\).
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(AB = 6\) см
\(P\) — точка пересечения медиан грани \(ADC\)
\(Q\) — точка пересечения медиан грани \(BDC\)
Найти: отрезок \(PQ\).
Решение: Грани \(ADC\) и \(BDC\) имеют общее ребро \(DC\). Пусть \(M\) — середина ребра \(DC\); тогда \(AM\) — медиана грани \(ADC\), а \(BM\) — медиана грани \(BDC\), поэтому точка \(P\) принадлежит отрезку \(AM\), а точка \(Q\) — отрезку \(BM\).
Точка \(D\) не принадлежит плоскости \(ABC\), поэтому прямая \(DC\) пересекает эту плоскость в точке \(C\). Прямая \(AB\) лежит в плоскости \(ABC\), а точка \(C\) этой прямой не принадлежит, поэтому по признаку скрещивающихся прямых прямые \(AB\) и \(DC\) — скрещивающиеся, а значит, общих точек не имеют. Точка \(M\) принадлежит прямой \(DC\), следовательно, \(M \notin AB\), и точки \(A\), \(B\) и \(M\) не лежат на одной прямой.
По аксиоме А3 через точки \(A\), \(B\) и \(M\) проходит плоскость; обозначим её \(\beta\). По аксиоме А4 отрезки \(AM\) и \(BM\) принадлежат плоскости \(\beta\), а вместе с ними принадлежат ей и точки \(P\) и \(Q\).
В плоскости \(\beta\) выполняются все аксиомы и теоремы планиметрии (аксиома А2). Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении \(2 : 1\), считая от вершины, поэтому \(MP : PA = 1 : 2\) и \(MQ : QB = 1 : 2\), то есть \(MP = \dfrac{1}{3} MA\) и \(MQ = \dfrac{1}{3} MB\).
Треугольники \(MPQ\) и \(MAB\) подобны: угол \(M\) у них общий, а стороны, прилежащие к этому углу, пропорциональны: \(\dfrac{MP}{MA} = \dfrac{MQ}{MB} = \dfrac{1}{3}\).
Из подобия треугольников \(PQ = \dfrac{1}{3} AB = \dfrac{1}{3} \cdot 6 = 2\) (см).
Ответ: \(PQ = 2\) см.
