Страница 45 номер 4.25, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
треугольник \(ABC\) и плоскость \(\alpha\) не имеют общих точек
\(BM\) — медиана треугольника \(ABC\)
\(BO = OM\)
\(AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel MM_1 \parallel OO_1\)
\(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), \(M_1\), \(O_1 \in \alpha\)
\(AA_1 = 17\) см
\(CC_1 = 13\) см
\(OO_1 = 12\) см

Найти: отрезок \(BB_1\).

Решение: Отрезок \(BM\) — медиана треугольника \(ABC\), поэтому точка \(M\) — середина стороны \(AC\). Стороны треугольника \(ABC\) не пересекают плоскость \(\alpha\), поэтому вершины \(A\), \(B\) и \(C\) лежат по одну сторону от этой плоскости, а вместе с ними — и все точки отрезков \(AC\) и \(BM\): общих точек с плоскостью \(\alpha\) эти отрезки не имеют.

Прямые \(AA_1\), \(CC_1\) и \(MM_1\) параллельны и пересекают прямую \(AC\) в точках \(A\), \(C\) и \(M\). Все параллельные прямые, пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости, поэтому эти три прямые лежат в одной плоскости; обозначим её \(\beta\).

Прямая \(AA_1\) пересекает плоскость \(\alpha\) и потому не принадлежит ей, а плоскости \(\beta\) принадлежит, значит, плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны. Точки \(A_1\), \(C_1\) и \(M_1\) принадлежат обеим этим плоскостям, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения. Следовательно, точки \(A_1\), \(M_1\) и \(C_1\) лежат на одной прямой.

Точно так же прямые \(BB_1\), \(OO_1\) и \(MM_1\) лежат в одной плоскости \(\gamma\), а точки \(B_1\), \(O_1\) и \(M_1\) лежат на одной прямой — прямой пересечения плоскостей \(\gamma\) и \(\alpha\).

Отрезок \(AC\) не имеет общих точек с плоскостью \(\alpha\), поэтому точки \(A\) и \(C\) лежат в плоскости \(\beta\) по одну сторону от прямой \(A_1C_1\), и \(AA_1C_1C\) — четырёхугольник с параллельными сторонами \(AA_1\) и \(CC_1\). Так как \(AA_1 \ne CC_1\), это трапеция с основаниями \(AA_1\) и \(CC_1\).

Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки, поэтому из \(AM = MC\) следует \(A_1M_1 = M_1C_1\). Значит, отрезок \(MM_1\) соединяет середины боковых сторон трапеции \(AA_1C_1C\), то есть является её средней линией.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, поэтому \(MM_1 = \dfrac{AA_1 + CC_1}{2} = \dfrac{17 + 13}{2} = 15\) (см).

Отрезок \(BM\) тоже не имеет общих точек с плоскостью \(\alpha\), поэтому точки \(B\) и \(M\) лежат в плоскости \(\gamma\) по одну сторону от прямой \(B_1M_1\), и \(BB_1M_1M\) — четырёхугольник с параллельными сторонами \(BB_1\) и \(MM_1\). Из \(BO = OM\) так же, как и выше, следует \(B_1O_1 = O_1M_1\).

Если \(BB_1 = MM_1\), то \(BB_1M_1M\) — параллелограмм и отрезок \(OO_1\), соединяющий середины его противолежащих сторон \(BM\) и \(B_1M_1\), равен стороне \(BB_1\). Если же \(BB_1 \ne MM_1\), то \(BB_1M_1M\) — трапеция с основаниями \(BB_1\) и \(MM_1\), а \(OO_1\) — её средняя линия. В обоих случаях \(OO_1 = \dfrac{BB_1 + MM_1}{2}\).

Отсюда \(BB_1 = 2 \cdot OO_1 - MM_1 = 2 \cdot 12 - 15 = 9\) (см).

Ответ: \(BB_1 = 9\) см.