Страница 45 номер 4.24, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
На отрезке \(AB\), пересекающем плоскость \(\alpha\), отмечена точка \(C\) так, что \(AC : BC = 5 : 3\). Через точки \(A\), \(B\) и \(C\) проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость \(\alpha\) в точках \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) соответственно. Найдите отрезок \(AA_1\), если \(BB_1 = 10\) см, \(CC_1 = 4\) см и точки \(A\) и \(C\) лежат по разные стороны от плоскости \(\alpha\).
Дано:
\(AC : BC = 5 : 3\)
\(BB_1 = 10\) см
\(CC_1 = 4\) см
отрезок \(AB\) пересекает плоскость \(\alpha\)
точки \(A\) и \(C\) — по разные стороны от плоскости \(\alpha\)
Найти: отрезок \(AA_1\).
Решение: Прямые \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) попарно параллельны и пересекают прямую \(AB\) в точках \(A\), \(B\) и \(C\), а все параллельные прямые, пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости; обозначим её \(\beta\).
Пусть \(O\) — точка пересечения отрезка \(AB\) с плоскостью \(\alpha\). Прямая \(AB\) принадлежит плоскости \(\beta\) по аксиоме А4, поэтому \(O \in \beta\); кроме того, \(O \in \alpha\).
Прямая \(AA_1\) пересекает плоскость \(\alpha\) и потому ей не принадлежит, а плоскости \(\beta\) принадлежит, значит, плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны. Точки \(A_1\), \(C_1\), \(B_1\) и \(O\) — общие точки этих плоскостей, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения, поэтому точки \(A_1\), \(O\), \(C_1\) и \(B_1\) лежат на одной прямой.
Точки \(A\) и \(C\) лежат по разные стороны от плоскости \(\alpha\), поэтому точка \(O\) лежит между \(A\) и \(C\). Точка \(C\) лежит между \(A\) и \(B\), значит, точки \(C\) и \(B\) лежат по одну сторону от плоскости \(\alpha\).
Треугольники \(OCC_1\) и \(OBB_1\) подобны: угол \(O\) у них общий, а углы \(OCC_1\) и \(OBB_1\) равны как соответственные при параллельных прямых \(CC_1\) и \(BB_1\) и секущей \(AB\). Из подобия треугольников \(\dfrac{OC}{OB} = \dfrac{CC_1}{BB_1} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\).
Пусть \(AC = 5t\) см и \(BC = 3t\) см, а \(OC = y\) см; точка \(C\) лежит между \(O\) и \(B\), поэтому \(OB = OC + CB = y + 3t\) (см). Тогда \(\dfrac{y}{y + 3t} = \dfrac{2}{5}\), откуда \(5y = 2y + 6t\) и \(y = 2t\).
Точка \(O\) лежит между \(A\) и \(C\), поэтому \(OA = AC - OC = 5t - 2t = 3t\) (см).
Треугольники \(OAA_1\) и \(OCC_1\) подобны: углы \(AOA_1\) и \(COC_1\) равны как вертикальные, а углы \(OAA_1\) и \(OCC_1\) — как накрест лежащие при параллельных прямых \(AA_1\) и \(CC_1\) и секущей \(AB\). Из подобия треугольников \(\dfrac{AA_1}{CC_1} = \dfrac{OA}{OC} = \dfrac{3t}{2t} = \dfrac{3}{2}\), откуда \(AA_1 = \dfrac{3}{2} \cdot 4 = 6\) (см).
Ответ: \(AA_1 = 6\) см.
На отрезке \(AB\), пересекающем плоскость \(\alpha\), отмечена точка \(C\) так, что \(AC : BC = 5 : 3\). Через точки \(A\), \(B\) и \(C\) проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость \(\alpha\) в точках \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) соответственно. Найдите отрезок \(AA_1\), если \(BB_1 = 10\) см, \(CC_1 = 4\) см и точки \(A\) и \(C\) лежат по разные стороны от плоскости \(\alpha\).
Дано:
\(AC : BC = 5 : 3\)
\(BB_1 = 10\) см
\(CC_1 = 4\) см
отрезок \(AB\) пересекает плоскость \(\alpha\)
точки \(A\) и \(C\) — по разные стороны от плоскости \(\alpha\)
Найти: отрезок \(AA_1\).
Решение: Прямые \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) попарно параллельны и пересекают прямую \(AB\) в точках \(A\), \(B\) и \(C\). Известно, что все параллельные прямые, пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости, поэтому эти три прямые лежат в одной плоскости; обозначим её \(\beta\).
Пусть \(O\) — точка пересечения отрезка \(AB\) с плоскостью \(\alpha\). Прямая \(AB\) принадлежит плоскости \(\beta\) по аксиоме А4, поэтому \(O \in \beta\); кроме того, \(O \in \alpha\).
Прямая \(AA_1\) пересекает плоскость \(\alpha\) и потому не принадлежит ей, а плоскости \(\beta\) принадлежит, значит, плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) различны. Точки \(A_1\), \(C_1\), \(B_1\) и \(O\) принадлежат обеим этим плоскостям, а все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на прямой их пересечения. Следовательно, точки \(A_1\), \(O\), \(C_1\) и \(B_1\) лежат на одной прямой.
Точки \(A\) и \(C\) лежат по разные стороны от плоскости \(\alpha\), поэтому точка \(O\) лежит между \(A\) и \(C\). Точка \(C\) лежит между \(A\) и \(B\), значит, точки \(C\) и \(B\) лежат по одну сторону от плоскости \(\alpha\).
Треугольники \(OCC_1\) и \(OBB_1\) подобны: угол \(O\) у них общий, а углы \(OCC_1\) и \(OBB_1\) равны как соответственные при параллельных прямых \(CC_1\) и \(BB_1\) и секущей \(AB\).
Из подобия треугольников \(\dfrac{OC}{OB} = \dfrac{CC_1}{BB_1} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\).
Пусть \(AC = 5t\) см и \(BC = 3t\) см. Обозначим \(OC = y\) см; точка \(C\) лежит между \(O\) и \(B\), поэтому \(OB = OC + CB = y + 3t\) (см).
Тогда \(\dfrac{y}{y + 3t} = \dfrac{2}{5}\), откуда \(5y = 2y + 6t\) и \(y = 2t\).
Точка \(O\) лежит между \(A\) и \(C\), поэтому \(OA = AC - OC = 5t - 2t = 3t\) (см).
Треугольники \(OAA_1\) и \(OCC_1\) подобны: углы \(AOA_1\) и \(COC_1\) равны как вертикальные, а углы \(OAA_1\) и \(OCC_1\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(AA_1\) и \(CC_1\) и секущей \(AB\).
Из подобия треугольников \(\dfrac{AA_1}{CC_1} = \dfrac{OA}{OC} = \dfrac{3t}{2t} = \dfrac{3}{2}\), откуда \(AA_1 = \dfrac{3}{2} \cdot 4 = 6\) (см).
Ответ: \(AA_1 = 6\) см.
